В четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 с квадратным основанием ABCD, точка M является центром боковой грани BCC1B1

Для решения данной задачи, нам понадобятся знания о свойствах четырехугольной призмы и о плоскостях, проходящих через её грани.

Для начала обратимся к основанию призмы ABCD. Так как это квадрат, то все его диагонали равны между собой и пересекаются в центре (обозначим его O). Также обратим внимание на грани BCC1B1 и A1D1M. Так как точка M является центром грани BCC1B1, то она лежит на прямой B1C и делит её пополам. Это означает, что BM = MC1.

Также нам дано, что плоскость A1D1M делит диагональ AC1 в отношении 2 : 1 при условии, что точка M является точкой деления. Это значит, что AM : MC1 = 2 : 1.

Теперь перейдем к доказательству. Для этого нам понадобится понятие пересечения плоскостей. Если две плоскости пересекаются по прямой, то они пересекаются в общей точке этой прямой. В данном случае, плоскость A1D1M пересекается с плоскостью ABCD по прямой A1M.

Поскольку точка M лежит на плоскости A1D1M, то она также лежит на прямой A1M. Это означает, что точка M принадлежит также и плоскости ABCD.

Теперь рассмотрим плоскость ABCD и диагональ AC1. Плоскость ABCD делит диагональ AC1 пополам, так как она является плоскостью симметрии для этой диагонали.

Из этого следует, что точка M, лежащая на обеих плоскостях A1D1M и ABCD, делит диагональ AC1 в отношении 2 : 1, что и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали, что плоскость A1D1M действительно делит диагональ AC1 в отношении 2 : 1, при условии, что точка M является точкой деления.