В билете есть три задачи. Какова вероятность того, что студент правильно решит первую задачу, вторую и третью задачи

Давайте начнем с расчета вероятности правильного решения каждой задачи. Пусть \(p_1\), \(p_2\), и \(p_3\) будут вероятностями правильного решения первой, второй и третьей задач соответственно.

Предположим, что вероятность правильного решения каждой задачи является независимой и не изменяется от задачи к задаче. Тогда вероятность правильного решения каждой задачи будет постоянна и одинакова для всех задач.

Для простоты, давайте предположим, что студент правильно решает каждую задачу с вероятностью \(p_1 = p_2 = p_3 = p\).

Чтобы получить закон распределения для числа правильно решенных задач на билете, нам нужно рассмотреть все возможные комбинации правильных и неправильных решений. Мы можем представить это в виде трех битовых чисел, где 1 представляет правильное решение, а 0 - неправильное решение. Таким образом, у нас будет 8 возможных комбинаций:

\[
\begin{align*}
000 & : P(X = 0) = (1-p)^3 \\
001 & : P(X = 1) = p(1-p)^2 \\
010 & : P(X = 1) = p(1-p)^2 \\
100 & : P(X = 1) = p(1-p)^2 \\
011 & : P(X = 2) = p^2(1-p) \\
101 & : P(X = 2) = p^2(1-p) \\
110 & : P(X = 2) = p^2(1-p) \\
111 & : P(X = 3) = p^3 \\
\end{align*}
\]

Теперь, чтобы вычислить математическое ожидание \(E(X)\) и дисперсию \(\text{Var}(X)\) случайной величины \(X\) (количество правильно решенных задач на билете), мы будем использовать следующие формулы:

\[
E(X) = \sum_{x} x \cdot P(X = x)
\]

\[
\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2
\]

где \(x\) - возможные значения случайной величины \(X\).

Теперь построим график функции распределения. Функция распределения \(F(x)\) задается следующей формулой:

\[
F(x) = P(X \leq x) = \sum_{k=0}^{x} P(X = k)
\]

Наконец, чтобы найти вероятность того, что студент пройдет экзамен, если он должен правильно решить не менее двух задач, мы должны посчитать вероятность \(P(X \geq 2)\), то есть сумму вероятностей для \(X = 2\), \(X = 3\).

Я надеюсь, эта информация поможет студенту в понимании вероятности правильного решения задач на билете. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь обращаться!