Сколько целых решений имеет неравенство (8x+19)/((x+3)^2 (x^2+5x))≥1/(x^2+3x

Для начала давайте приведем данное неравенство к более удобному виду.

Итак, у нас есть неравенство \(\frac{{8x+19}}{{(x+3)^2 (x^2+5x)}}\geq\frac{1}{{x^2+3x}}\).

Для удобства вычислений и работы с выражениями, давайте упростим его.

Сначала умножим обе части на знаменатель выражения в числителе левой части, чтобы избавиться от дроби. Получим: \(8x+19\geq\frac{{(x+3)^2 (x^2+5x)}}{{x^2+3x}}\).

Теперь распространимся на знаменатель в правой части: \(8x+19\geq\frac{{(x+3)^2 (x(x+5))}}{{x(x+3)}}\).

Заметим, что \(x(x+3)\) присутствует в числителе и знаменателе в правой части неравенства. Для упрощения давайте сократим это выражение: \(8x+19\geq (x+3)(x+5)\).

Раскроем скобки: \(8x+19\geq x^2+8x+15\).

Теперь сгруппируем все слагаемые на одной стороне: \(x^2-x+4\geq 0\).

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем его корни.

Решим уравнение \(x^2-x+4=0\), используя квадратное уравнение. Мы можем опустить подробности и просто написать ответы, который находятся при помощи формулы дискриминанта, поскольку в данном случае это будет существенно облегчать нашему школьнику.

Дискриминант \(D\) равен \((-1)^2-4\cdot 1\cdot 4=-15\). Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение \(x^2-x+4=0\) не имеет вещественных корней.

Дает это нам отсутствие решений для исходного неравенства \(x^2-x+4\geq 0\).

Таким образом, данное неравенство не имеет целых решений.