В архитектурном бюро есть 10 архитекторов и один руководитель. Как много вариантов можно выбрать, чтобы принять участие

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать комбинаторику и принципы подсчета. Объемлющий принцип и правило сложения помогут нам найти количество вариантов выбора.

Поскольку руководитель обязан оставаться, то мы можем выбрать оставшихся 4 архитекторов из оставшихся 10 (без учета руководителя).

Количество способов выбрать 4 архитектора из 10 можно определить с помощью сочетаний без повторений по формуле:
\[{C}^n_k = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\]

Где n - общее количество элементов, k - количество элементов, которое мы выбираем.

Подставим значения в формулу:
\[{C}^{10}_4 = \frac{{10!}}{{4!(10 - 4)!}}\]

Упростим выражение:
\[{C}^{10}_4 = \frac{{10!}}{{4!6!}}\]

Раскроем факториалы:
\[{C}^{10}_4 = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 6!}}\]

Упростим выражение:
\[{C}^{10}_4 = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\]

Выполним умножение и деление:
\[{C}^{10}_4 = \frac{{5040}}{{24}} = 210\]

Таким образом, существует 210 вариантов выбрать 4 архитектора из 10, если руководитель обязан быть одним из выбранных.

Однако, в задаче указано, что руководитель может как быть включенным в выборку, так и не быть включенным. Это означает, что у нас есть два варианта для руководителя: включен или не включен.

Следовательно, общее количество вариантов, при которых остаются 5 человек (4 архитектора и 1 руководитель), будет равно \(210 \cdot 2 = 420\).

Таким образом, существует 420 вариантов выбрать 5 человек из 10 архитекторов и 1 руководителя, при условии, что руководитель обязан оставаться.