Уравнение колебаний для груза, прикрепленного к пружине и находящегося на гладком горизонтальном стрежне, где жесткость

Для начала, рассмотрим уравнение колебаний для груза на пружине. Это уравнение может быть записано следующим образом:

\[m \cdot \frac{d^2x}{dt^2} = -k \cdot x\]

где:
\(m\) - масса груза,
\(x\) - координата груза,
\(t\) - время,
\(k\) - жесткость пружины.

Для нашей задачи, масса груза \(m\) равна 10 г, что можно перевести в килограммы, умножив на 0.001:

\[m = 10 \cdot 0.001 = 0.01 \, \text{кг}\]

Жесткость пружины \(k\) равна \(10^4 \, \text{Н/м}\).

Теперь мы можем приступить к решению уравнения колебаний.

1. Найдем период колебаний груза с помощью формулы:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]

Подставим значения массы и жесткости пружины и рассчитаем период:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{0.01}{10^4}}\]

\[T = 2\pi\sqrt{10^{-6}}\]

\[T = 2\pi \cdot 10^{-3}\]

Таким образом, период колебаний груза равен \(2\pi \cdot 10^{-3}\) секунды.

2. Теперь, чтобы найти координаты груза в моменты времени, равные \(\frac{\pi}{4}\) мс и \(\frac{\pi}{2}\) мс, мы можем использовать следующую формулу:

\[x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi)\]

где:
\(A\) - амплитуда колебаний,
\(\omega\) - угловая скорость колебаний,
\(\phi\) - начальная фаза колебаний.

Амплитуда колебаний \(A\) может быть найдена с помощью следующей формулы:

\[A = \frac{F}{k}\]

где:
\(F\) - сила, действующая на груз.

В нашем случае, сила \(F\) равна \(mg\), где \(g\) - ускорение свободного падения:

\[F = mg = 0.01 \, \text{кг} \cdot 9.8 \, \text{м/c}^2\]

Рассчитаем силу:

\[F = 0.01 \cdot 9.8 = 0.098 \, \text{Н}\]

Теперь можем рассчитать амплитуду колебаний:

\[A = \frac{0.098}{10^4} = 9.8 \cdot 10^{-6} \, \text{м}\]

Далее, угловая скорость колебаний \(\omega\) может быть найдена по формуле:

\[\omega = \frac{2\pi}{T}\]

подставив значение периода \(T\), найденного ранее:

\[\omega = \frac{2\pi}{2\pi \cdot 10^{-3}}\]

\[\omega = 10^3 \, \text{рад/с}\]

3. Теперь найдем начальную фазу колебаний \(\phi\) для каждого момента времени.

Для момента времени \(t = \frac{\pi}{4}\) мс:

\[\phi_1 = \omega \cdot t_1\]

\[\phi_1 = 10^3 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot 10^{-3}\]

\[\phi_1 = \frac{\pi}{4}\]

Для момента времени \(t = \frac{\pi}{2}\) мс:

\[\phi_2 = \omega \cdot t_2\]

\[\phi_2 = 10^3 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 10^{-3}\]

\[\phi_2 = \frac{\pi}{2}\]

Теперь мы можем рассчитать координаты груза в данных моментах времени, подставляя значения в формулу \(x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi)\):

Для момента времени \(t = \frac{\pi}{4}\) мс:

\[x_1 = 9.8 \cdot 10^{-6} \cdot \cos(10^3 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot 10^{-3} + \frac{\pi}{4})\]

\[x_1 = 9.8 \cdot 10^{-6} \cdot \cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4})\]

\[x_1 = 9.8 \cdot 10^{-6} \cdot \cos(\frac{\pi}{2})\]

\[x_1 = 9.8 \cdot 10^{-6} \cdot 0\]

\[x_1 = 0\]

Для момента времени \(t = \frac{\pi}{2}\) мс:

\[x_2 = 9.8 \cdot 10^{-6} \cdot \cos(10^3 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 10^{-3} + \frac{\pi}{2})\]

\[x_2 = 9.8 \cdot 10^{-6} \cdot \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2})\]

\[x_2 = 9.8 \cdot 10^{-6} \cdot \cos(\pi)\]

\[x_2 = 9.8 \cdot 10^{-6} \cdot (-1)\]

\[x_2 = -9.8 \cdot 10^{-6} \, \text{м}\]

Таким образом, координата груза в момент времени \(t = \frac{\pi}{4}\) мс равна 0 метров, а координата груза в момент времени \(t = \frac{\pi}{2}\) мс равна \(-9.8 \cdot 10^{-6}\) метров.

Относительно изменения уравнения колебаний при растяжении пружины с внешней силой, совершающей работу, эта сила может быть учтена в уравнении колебаний, добавив дополнительный член \(F_{\text{внеш}}\):

\[m \cdot \frac{d^2x}{dt^2} = -(k \cdot x + F_{\text{внеш}})\]

где \(F_{\text{внеш}}\) - работа, выполненная внешней силой на пружину.

Таким образом, внешняя сила будет дополнительным членом, влияющим на движение груза и пружины.