Укажите массу планеты Уран (в массах Земли), при условии, что спутник Урана Титания имеет период обращения вокруг

Чтобы найти массу планеты Уран, мы можем использовать законы Кеплера и формулу для гравитационной силы.

Закон Кеплера устанавливает, что квадрат периода обращения \( T \) небесного тела пропорционален кубу его большой полуоси \( a \), то есть \( T^2 \propto a^3 \).

В данной задаче нам дан период обращения спутника Титания вокруг планеты Уран, который составляет 8,7 суток. В неделях это будет:

\[ T = \frac{{8.7}}{{7}} \approx 1.24 \text{ недель} \]

Среднее расстояние между планетой и ее спутником составляет 438 тысяч километров.

Теперь мы можем использовать формулу, которая связывает период обращения небесного тела и его большую полуось:

\[ T^2 = \frac{{4 \pi^2}}{{G \cdot M}} \cdot a^3 \]

где \( G \) - гравитационная постоянная, а \( M \) - масса планеты, которую мы хотим найти.

Чтобы найти массу планеты Уран в массах Земли, нам необходимо знать массу Земли, которая составляет примерно \( 5.972 \times 10^{24} \) килограмм.

Теперь, подставляя известные значения в формулу, мы можем решить задачу:

\[ 1.24^2 = \frac{{4 \pi^2}}{{G \cdot M}} \cdot (438,000^3) \]

\[ M = \frac{{4 \pi^2 \cdot (438,000)^3}}{{(1.24^2) \cdot G}} \cdot \frac{{5.972 \times 10^{24}}}{{10^{21}}} \]

Гравитационная постоянная \( G \) составляет примерно \( 6.67430 \times 10^{-11} \) \( \text{м}^3/\text{кг}/\text{с}^2 \).

Подставляя этот значения в уравнение, получаем:

\[ M \approx \frac{{4 \cdot 3.14^2 \cdot (438,000)^3}}{{(1.24^2) \cdot 6.67430 \times 10^{-11}}} \cdot \frac{{5.972}}{{10^3}} \]

\[ M \approx \frac{{4 \cdot 3.14^2 \cdot (438,000)^3}}{{(1.24^2) \cdot 6.67430 \times 10^{-11}}} \cdot 5.972 \times 10^{3} \]

После выполнения расчетов мы получаем массу планеты Уран в массах Земли.

Помните, что в данном ответе я использовал приближенные значения и округления для удобства расчетов.