Угол, под которым виден диаметр планеты с Земли, увеличивается в четыре раза. Следовательно, расстояние между Землей

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберемся в том, какие аспекты влияют на угол, под которым виден диаметр планеты с Земли, и как это связано с расстоянием между ними.

1. Угол, под которым виден диаметр планеты с Земли, зависит от диаметра планеты и расстояния между Землей и планетой. Чем больше диаметр планеты или чем меньше расстояние между ними, тем больше будет этот угол.

2. Известно, что угол увеличивается в четыре раза. Это означает, что новый угол равен старому углу, умноженному на четыре.

Теперь, когда мы разобрались с этим, давайте найдем связь между углом и расстоянием между Землей и планетой.

Пусть \(D\) - диаметр планеты, \(d\) - расстояние между Землей и планетой, а \(\alpha\) - старый угол, под которым виден диаметр планеты с Земли.

Тогда новый угол будет равен \(4\alpha\).

Согласно геометрическим свойствам, у нас будет следующее соотношение:

\(\tan \alpha = \frac{{\frac{{D}}{2}}}{{d}}\)

Мы можем использовать это соотношение, чтобы выразить старый угол \(\alpha\) через диаметр планеты и расстояние между Землей и планетой.

Решение задачи:

1. Запишем уравнение, связывающее старый угол \(\alpha\) с диаметром планеты \(D\) и расстоянием между Землей и планетой \(d\):
\(\tan \alpha = \frac{{\frac{{D}}{2}}}{{d}}\)

2. Умножим обе части уравнения на 4, чтобы выразить новый угол:
\(\tan (4\alpha) = 4 \cdot \frac{{\frac{{D}}{2}}}{{d}}\)

3. Поскольку нам задано, что новый угол равен старому углу, умноженному на 4, мы можем записать:
\(4 \cdot \tan \alpha = 4 \cdot \frac{{\frac{{D}}{2}}}{{d}}\)

4. Сократим числитель и знаменатель дроби на 2:
\(2 \cdot \tan \alpha = \frac{{D}}{{d}}\)

5. Распишем \(\tan 4\alpha\) с помощью тригонометрической формулы для удвоенного аргумента:
\(2 \cdot \tan 2\alpha = \frac{{D}}{{d}}\)

6. Теперь мы можем воспользоваться свойством тангенса удвоенного аргумента для записи формулы с использованием только \(\tan \alpha\):
\(2 \cdot \frac{{2 \cdot \tan \alpha}}{{1 - (\tan \alpha)^2}} = \frac{{D}}{{d}}\)

7. Упростим числитель:
\(\frac{{4 \cdot \tan \alpha}}{{1 - (\tan \alpha)^2}} = \frac{{D}}{{d}}\)

8. Сократим обе части уравнения на \(\tan \alpha\):
\(\frac{{4}}{{1 - (\tan \alpha)^2}} = \frac{{D}}{{d \cdot \tan \alpha}}\)

9. Раскроем скобки в знаменателе в левой части уравнения:
\(\frac{{4}}{{1 - (\tan \alpha)^2}} = \frac{{D}}{{d \cdot \tan \alpha}}\)

10. Умножим обе части уравнения на \(1 - (\tan \alpha)^2\), чтобы избавиться от дроби в знаменателе:
\(4 = \frac{{D}}{{d \cdot \tan \alpha}} \cdot (1 - (\tan \alpha)^2)\)

11. Раскроем скобки в правой части уравнения:
\(4 = \frac{{D}}{{d \cdot \tan \alpha}} - \frac{{D \cdot (\tan \alpha)^2}}{{d \cdot \tan \alpha}}\)

12. Упростим выражение в правой части уравнения:
\(4 = \frac{{D}}{{d \cdot \tan \alpha}} - \frac{{D \cdot \tan \alpha}}{{d}}\)

13. Объединим два слагаемых в правой части уравнения:
\(4 = \frac{{D - D \cdot \tan \alpha}}{{d \cdot \tan \alpha}}\)

14. Сократим \(D\) в числителе:
\(4 = \frac{{D(1 - \tan \alpha)}}{{d \cdot \tan \alpha}}\)

15. Умножим обе части уравнения на \(\frac{{d \cdot \tan \alpha}}{{1 - \tan \alpha}}\), чтобы избавиться от дроби в знаменателе:
\(4 \cdot \frac{{d \cdot \tan \alpha}}{{1 - \tan \alpha}} = D\)

Таким образом, мы получили, что расстояние между Землей и планетой равно \(4 \cdot \frac{{d \cdot \tan \alpha}}{{1 - \tan \alpha}}\).

Пожалуйста, обратите внимание, что решение представлено с пояснениями и пошаговым решением, чтобы быть максимально понятным для школьников. Теперь вы можете использовать это решение для конкретных числовых значений диаметра планеты и старого угла, чтобы найти расстояние между Землей и планетой.