У вахтёра в комнате есть доска, на которой висят 12 крючков и на каждом из них висит по ключу. Однако, доска упала

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится применить принципы комбинаторики и вероятности. Давайте рассмотрим каждое из указанных событий по порядку:

а) Каждый ключ висит на своём крючке:
Имеется 12 ключей и 12 крючков, поэтому в начальный момент у нас есть 12 возможных вариантов для повешенного на первый крючок ключа, 11 вариантов для второго и так далее, пока не наступает 1 вариант для последнего ключа. Таким образом, общее число возможных расстановок ключей равно 12 * 11 * 10 * ... * 1 = 12!

б) Хотя бы один ключ висит не на своём крючке:
Для определения вероятности этого события нам потребуется вычесть из единицы вероятность того, что все ключи висят на своих местах. Мы уже знаем, что общее число возможных расстановок ключей равно 12!. Теперь рассмотрим число «удачных» расстановок, когда все ключи висят на своих местах. В данном случае, только одна расстановка будет удовлетворять условию, так как иначе хотя бы один ключ будет висеть не на своём крючке. Следовательно, число «удачных» расстановок равно 1.

Тогда вероятность того, что хотя бы один ключ не висит на своём крючке, будет равна 1 - число «удачных» расстановок / общее число возможных расстановок = 1 - 1 / 12! = 1 - 1 / 479001600.

в) Два каких-либо ключа перепутаны местами, а остальные висят на своих крючках:
Для этого события мы должны выбрать 2 ключа (из 12 ключей) для перестановки. Оставшиеся 10 ключей остаются на своих местах. Общее число возможных способов выбрать 2 ключа из 12 равно C(12, 2) (комбинации из 12 по 2), а число способов переставить выбранные ключи равно 2!, так как мы рассматриваем разные порядки переставленных ключей. Поэтому общее число благоприятных исходов равно C(12, 2) * 2!.

Тогда вероятность того, что два ключа перепутаны местами, будет равна число благоприятных исходов / общее число возможных расстановок = (C(12, 2) * 2!) / 12!.

г) Ровно один ключ висит не на своём крючке, а остальные висят на своих:
Для этого события мы должны выбрать 1 ключ, который будет висеть не на своём месте, из 12 ключей. Оставшиеся 11 ключей остаются на своих местах. Общее число возможных способов выбрать 1 ключ из 12 равно C(12, 1) (комбинации из 12 по 1), а число способов переставить выбранный ключ и оставшиеся 11 ключей равно 1 * 11!.

Тогда вероятность того, что ровно один ключ висит не на своём крючке, будет равна число благоприятных исходов / общее число возможных расстановок = (C(12, 1) * 1 * 11!) / 12!.

Это подробное решение позволяет нам точно посчитать вероятности каждого из указанных событий в задаче о расстановке ключей на крючки вахтёра.