У трикутнику ABC, які мають кут ∠A = 35° та ∠B = 45°, проведено перпендикуляр AD до площини трикутника

Давайте разберем эту задачу шаг за шагом.

1. Начнем с рисунка. Для удобства визуализации построим треугольник ABC с заданными углами. Угол A равен 35°, а угол B равен 45°.

\(%
\begin{array}{c}
\ C
\ /\
\ / \
\ / \
\ / \
\ / \
\ / \
\ / ________________\
\ A D B
\end{array}
\)

2. Теперь проведем перпендикуляр AD до плоскости треугольника ABC. Получим следующую картину:

\(%
\begin{array}{c}
\ C
\ /\
\ / \
\ / \
\ / \
\ / \
\ A______D B
\end{array}
\)

3. Далее нам необходимо упорядочить отрезки DA, DB и DC в порядке возрастания их длины.

- Отрезок DA - это отрезок, который соединяет вершину треугольника A с точкой пересечения AD.
- Отрезок DB - это отрезок, который соединяет вершину треугольника B с точкой пересечения AD.
- Отрезок DC - это отрезок, который соединяет вершину треугольника C с точкой пересечения AD.

4. Для определения порядка упорядочивания отрезков по их длине, мы можем использовать теорему Пифагора.

Согласно теореме Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В нашем случае, треугольник AD будет прямоугольным и прямой угол будет образован перпендикуляром AD к стороне AC.
Поэтому можем использовать теорему Пифагора для решения задачи.

5. Посмотрим на треугольник DAB. Мы можем применить теорему Пифагора для этого треугольника, используя его правильно-угольные углы (∠A = 35°, ∠B = 45°).

\(\begin{align*}
AD^2 &= AB^2 + BD^2 \quad \text{(теорема Пифагора)}\\
\end{align*}\)

6. Зная, что угол A равен 35° и угол B равен 45°, мы можем найти соответствующие значения сторон треугольника DAB.

Допустим, сторона AB равна единице. Тогда мы можем найти сторону BD, используя тангенс 45° (так как тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему):

\(\begin{align*}
\tan B &= \frac{BD}{AB}\\
\tan 45^\circ &= \frac{BD}{1}\\
1 &= BD
\end{align*}\)

Таким образом, мы получаем, что сторона BD имеет длину 1.

7. Теперь мы можем заменить сторону AB и сторону BD значениями в нашем уравнении для AD:

\(\begin{align*}
AD^2 &= AB^2 + BD^2\\
AD^2 &= 1^2 + 1^2\\
AD^2 &= 2\\
AD &= \sqrt{2}
\end{align*}\)

Таким образом, сторона AD имеет длину \(\sqrt{2}\).

8. После того, как мы нашли длину стороны AD, мы можем сделать вывод о том, что в результате упорядочивания отрезков в порядке возрастания их длин получится следующая последовательность:

DA < DB < DC

А так как сторона AD имеет длину \(\sqrt{2}\), сторона DB имеет длину 1, а сторона DC - неизвестна, то окончательный ответ будет:

DA < DB < DC, где \(DA = \sqrt{2}\), \(DB = 1\), \(DC = ?\)