У треугольника ABC известны следующие данные: AC = 34,2 см, ∢ B = 45°, ∢ C = 60°. Пожалуйста, упростите ответ, выразив

Дано: треугольник ABC с AC = 34,2 см, ∢ B = 45° и ∢ C = 60°.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов, которая устанавливает соотношение между длинами сторон треугольника и синусами соответствующих углов. Формула для использования выглядит следующим образом:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

Где a, b и c - стороны треугольника, а A, B и C - соответствующие им углы.

В нашем случае, известны значения стороны AC = 34,2 см и углов ∢ B = 45° и ∢ C = 60°. Нам нужно найти значение стороны BC.

Применим теорему синусов к нашей задаче, используя формулу:

\[\frac{BC}{\sin(\angle B)} = \frac{AC}{\sin(\angle C)}\]

Подставляя известные значения:

\[\frac{BC}{\sin(45°)} = \frac{34,2}{\sin(60°)}\]

Для удобства вычислений, посчитаем синусы углов:

\[\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{и} \quad \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Подставляем значения и решаем уравнение:

\[\frac{BC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{34,2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Домножим обе стороны на \(\frac{2}{\sqrt{2}}\) для упрощения:

\[BC = \frac{34,2 \cdot 2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Упрощаем значение:

\[BC = \frac{68,4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Теперь, чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим и разделим значение на \(\sqrt{3}\):

\[BC = \frac{68,4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\]

\[BC = \frac{68,4 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot \sqrt{3}}\]

\[BC = \frac{68,4 \cdot \sqrt{6}}{2 \cdot \sqrt{3}}\]

Далее упростим значение, деля числитель и знаменатель на 2, получаем:

\[BC = \frac{34,2 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{3}}\]

Таким образом, ответом является:

\[BC = 34,2 \cdot \sqrt{6/3}\]

Поскольку 6/3 = 2, ответ можно дополнительно упростить:

\[BC = 34,2 \cdot \sqrt{2}\]

Таким образом, длина стороны BC равна \(34,2 \cdot \sqrt{2}\) см. Ответ записывается в виде целого числа под знаком корня, так что окончательно можно записать:

\[BC = 34,2\sqrt{2} \,\text{см}\]