У скільки разів відносне збільшення довжини риболовної жилки діаметром 0,2 мм є більшим, ніж жилки діаметром

Для решения данной задачи, нам необходимо рассмотреть относительное увеличение длины рыболовной лески при одинаковом воздействии силы на жилки разного диаметра.

Относительное увеличение длины можно определить по формуле:

$$\text{{Относительное увеличение длины}}=\frac{\text{{Изменение длины}}}{\text{{Исходная длина}}}$$

Для начала, нам понадобятся значения изменения длины для каждой жилки. Для этого воспользуемся формулой Гука:

$$F=k\cdot \mathrm{\Delta }L$$

Где $F$ - сила, действующая на жилку, $k$ - коэффициент упругости, равный 1 для всех жилок в нашей задаче, и $\mathrm{\Delta }L$ - изменение длины.

Так как сила действует одинаково на обе жилки, можно записать:

$$k\cdot \mathrm{\Delta }{L}_1=k\cdot \mathrm{\Delta }{L}_2$$

Где $\mathrm{\Delta }{L}_1$ и $\mathrm{\Delta }{L}_2$ - изменение длины для жилок диаметром 0,2 мм и 0,4 мм соответственно.

Исходя из этого, можем выразить относительное увеличение длины для каждой жилки:

$$\frac{\mathrm{\Delta }{L}_1}{L_1}=\frac{\mathrm{\Delta }{L}_2}{L_2}$$

Где $L_1$ и $L_2$ - исходные длины для жилок диаметром 0,2 мм и 0,4 мм соответственно.

Так как известны значения диаметров жилок, можно связать их с длиной по формуле:

$$L=\pi \cdot d$$

Где $L$ - длина жилки, а $d$ - диаметр.

Теперь мы можем записать уравнение:

$$\frac{\mathrm{\Delta }{L}_1}{\pi \cdot d_1}=\frac{\mathrm{\Delta }{L}_2}{\pi \cdot d_2}$$

Где $d_1=0,2$ мм и $d_2=0,4$ мм.

Теперь решим данное уравнение:

$$\frac{\mathrm{\Delta }{L}_1}{\pi \cdot 0,2}=\frac{\mathrm{\Delta }{L}_2}{\pi \cdot 0,4}$$

Домножим обе части уравнения на $\pi \cdot 0,2\cdot 0,4$:

$$\mathrm{\Delta }{L}_1\cdot 0,4=\mathrm{\Delta }{L}_2\cdot 0,2$$

Теперь выразим относительное увеличение длины для каждой жилки:

$$\frac{\mathrm{\Delta }{L}_1}{L_1}=\frac{\mathrm{\Delta }{L}_2}{L_2}=x$$

Тогда получаем уравнение:

$$0,4\cdot x\cdot L_1=0,2\cdot x\cdot L_2$$

Теперь находим отношение длин жилок:

$$\frac{L_2}{L_1}=\frac{0,4}{0,2}=2$$

Таким образом, длина жилки диаметром 0,4 мм в два раза больше, чем длина жилки диаметром 0,2 мм.

Ответ: Относительное увеличение длины рыболовной жилки диаметром 0,2 мм больше, чем у жилки диаметром 0,4 мм, в $2$ раза.