У скільки разів відносне збільшення довжини риболовної жилки діаметром 0,2 мм є більшим, ніж жилки діаметром

Для решения данной задачи, нам необходимо рассмотреть относительное увеличение длины рыболовной лески при одинаковом воздействии силы на жилки разного диаметра.

Относительное увеличение длины можно определить по формуле:

\[
\text{{Относительное увеличение длины}} = \frac{{\text{{Изменение длины}}}}{{\text{{Исходная длина}}}}
\]

Для начала, нам понадобятся значения изменения длины для каждой жилки. Для этого воспользуемся формулой Гука:

\[
F = k \cdot \Delta L
\]

Где \( F \) - сила, действующая на жилку, \( k \) - коэффициент упругости, равный 1 для всех жилок в нашей задаче, и \( \Delta L \) - изменение длины.

Так как сила действует одинаково на обе жилки, можно записать:

\[
k \cdot \Delta L_1 = k \cdot \Delta L_2
\]

Где \( \Delta L_1 \) и \( \Delta L_2 \) - изменение длины для жилок диаметром 0,2 мм и 0,4 мм соответственно.

Исходя из этого, можем выразить относительное увеличение длины для каждой жилки:

\[
\frac{{\Delta L_1}}{{L_1}} = \frac{{\Delta L_2}}{{L_2}}
\]

Где \( L_1 \) и \( L_2 \) - исходные длины для жилок диаметром 0,2 мм и 0,4 мм соответственно.

Так как известны значения диаметров жилок, можно связать их с длиной по формуле:

\[
L = \pi \cdot d
\]

Где \( L \) - длина жилки, а \( d \) - диаметр.

Теперь мы можем записать уравнение:

\[
\frac{{\Delta L_1}}{{\pi \cdot d_1}} = \frac{{\Delta L_2}}{{\pi \cdot d_2}}
\]

Где \( d_1 = 0,2 \) мм и \( d_2 = 0,4 \) мм.

Теперь решим данное уравнение:

\[
\frac{{\Delta L_1}}{{\pi \cdot 0,2}} = \frac{{\Delta L_2}}{{\pi \cdot 0,4}}
\]

Домножим обе части уравнения на \( \pi \cdot 0,2 \cdot 0,4 \):

\[
\Delta L_1 \cdot 0,4 = \Delta L_2 \cdot 0,2
\]

Теперь выразим относительное увеличение длины для каждой жилки:

\[
\frac{{\Delta L_1}}{{L_1}} = \frac{{\Delta L_2}}{{L_2}} = x
\]

Тогда получаем уравнение:

\[
0,4 \cdot x \cdot L_1 = 0,2 \cdot x \cdot L_2
\]

Теперь находим отношение длин жилок:

\[
\frac{{L_2}}{{L_1}} = \frac{{0,4}}{{0,2}} = 2
\]

Таким образом, длина жилки диаметром 0,4 мм в два раза больше, чем длина жилки диаметром 0,2 мм.

Ответ: Относительное увеличение длины рыболовной жилки диаметром 0,2 мм больше, чем у жилки диаметром 0,4 мм, в \( 2 \) раза.