У Лёни записано двадцать целых чисел в круге, и их сумма равна 5. Лёня посчитал и записал на бумажку все возможные

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знать несколько основных свойств чисел в круге и основные принципы математического анализа.

Предположим, что у нас есть двадцать чисел, обозначим их как $a_1,a_2,...,a_{20}$. По условию, сумма всех этих чисел равна 5, то есть:

$$a_1+a_2+...+a_{20}=5$$

Лёня посчитал все возможные суммы из десяти подряд идущих чисел. Всего у нас двадцать чисел, и по условию мы знаем, что наибольшая сумма из этих двадцати равна 8. Давайте обозначим эти суммы как $s_1,s_2,...,s_{20}$.

Теперь мы можем задать вопрос: сколько различных чисел может быть записано у Лёни? Или, по сути, насколько максимально возможно можно сократить количество различных чисел, получаемых как сумма десяти подряд идущих чисел?

Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к свойству круга. Представим, что первые десять чисел у нас начинаются с $a_1$ и заканчиваются на $a_{10}$, а следующие десять чисел начинаются с $a_2$ и заканчиваются на $a_{11}$, и так далее.

Таким образом, мы можем записать следующее уравнение, объединяющее все суммы $s_1,s_2,...,s_{20}$:

$$s_1+s_2+...+s_{20}=(a_1+a_2+...+a_{10})+(a_2+a_3+...+a_{11})+...+(a_{11}+a_{12}+...+a_{20})$$

Заметим, что каждое число $a_i$ будет участвовать в сумме дважды: один раз при подсчете суммы $s_i$ и один раз при подсчете следующей суммы. Это свойство поможет нам в решении задачи.

Таким образом, каждое число $a_i$ будет участвовать дважды в общей сумме всех сумм:

$$s_1+s_2+...+s_{20}=2(a_1+a_2+...+a_{20})$$

Мы уже знаем, что сумма всех чисел равна 5:

$$s_1+s_2+...+s_{20}=2\cdot 5=10$$

Теперь мы можем использовать данную информацию для решения задачи. Если каждое число $a_i$ участвует дважды в общей сумме, то сумма всех сумм должна быть в два раза больше суммы всех чисел. В нашем случае это не так:

$$10\ne 2\cdot 5$$

Получается, что некоторые числа из множества $a_1,a_2,...,a_{20}$ должны быть одинаковыми. Иными словами, у Лёни могут быть только несколько различных чисел.

Чтобы узнать, сколько различных чисел может быть у Лёни, давайте рассмотрим два случая:

1) Если у Лёни все числа разные, то сумма всех сумм должна быть равна сумме всех чисел в два раза:

$$10=2\cdot 5$$

Это противоречие, поэтому мы можем исключить этот случай.

2) Если у Лёни есть несколько одинаковых чисел, то сумма всех сумм будет меньше, чем сумма всех чисел в два раза.

Таким образом, у Лёни может быть только несколько различных чисел.

Ответ: У Лёни может быть только несколько различных чисел. Полностью определить количество этих чисел мы не можем без дополнительных данных