У АЗС имеется 3 заправочных колонки. Площадка, где машины ожидают заправку, может вместить только одну машину

Для решения данной задачи воспользуемся методом математического моделирования, а именно моделью M/M/1.

M/M/1 модель представляет собой систему массового обслуживания, в которой поступление требований и их обслуживание подчиняются процессам Пуассона.

Для начала определимся с обозначениями:
- $\lambda$ - интенсивность поступления машин на АЗС (в скорости прибытия в минуту). В нашем случае $\lambda =\frac{1}{2}$ (поскольку машины прибывают на станцию каждые 2 минуты).
- $\mu$ - интенсивность обслуживания машин на АЗС (в скорости обслуживания в минуту). В нашем случае $\mu =\frac{1}{2,5}$ (поскольку время заправки одной машины составляет в среднем 2,5 минуты).
- $p_0$ - вероятность того, что на АЗС нет машин и площадка свободна.
- $p_n$ - вероятность того, что на АЗС находится n машин.

Теперь рассчитаем все необходимые значения.

1. Вероятность отказа:
Вероятность отказа ($P_{\text{отк}}$) равна вероятности того, что на АЗС находится максимальное количество машин (т.е. 3) и площадка занята.
Таким образом, $P_{\text{отк}}=p_3$.

2. Абсолютная проходимость АЗС:
Абсолютная проходимость АЗС ($A$) равна вероятности того, что на АЗС нет машин и площадка свободна.
Таким образом, $A=p_0$.

3. Среднее количество машин, ожидающих заправку:
Среднее количество машин, ожидающих заправку ($L_q$) равно сумме вероятностей нахождения машин в очереди, умноженных на соответствующие значения.
Таким образом, $L_q=\sum _{n=1}^3(n-1)p_n$.

4. Среднее время ожидания машины в очереди:
Среднее время ожидания машины в очереди ($W_q$) равно среднему количеству машин, ожидающих заправку, деленному на интенсивность поступления машин на АЗС.
Таким образом, $W_q=\frac{L_q}{\lambda }$.

5. Среднее время пребывания машины на АЗС (включая обслуживание):
Среднее время пребывания машины на АЗС ($W$) равно среднему количеству машин на АЗС, включая обслуживание, деленному на интенсивность поступления машин на АЗС.
Таким образом, $W=\frac{L}{\lambda }$.

Теперь рассчитаем все значения по формулам.

Для начала найдем значение $p_0$. В M/M/1 модели оно вычисляется по формуле:

$$p_0={(1+\sum _{n=1}^N\frac{{(\lambda /\mu )}^n}{n!})}^{-1}$$

где $N$ - максимальное количество машин в системе (в нашем случае 3).

Подставив значения, получим:

$$p_0={(1+\frac{{(\frac{1}{2}/\frac{1}{2,5})}^1}{1!}+\frac{{(\frac{1}{2}/\frac{1}{2,5})}^2}{2!}+\frac{{(\frac{1}{2}/\frac{1}{2,5})}^3}{3!})}^{-1}$$

$$p_0={(1+\frac{5^1}{2^1}+\frac{5^2}{2^2\cdot 2}+\frac{5^3}{2^3\cdot 3\cdot 2})}^{-1}$$

$$p_0={(1+5+\frac{25}{8}+\frac{125}{48})}^{-1}$$

$$p_0={(\frac{48}{48}+\frac{240}{48}+\frac{125}{48}+\frac{125}{48})}^{-1}$$

$$p_0={\left(\frac{538}{48}\right)}^{-1}$$

$$p_0=\frac{48}{538}\approx 0,089$$

Теперь рассчитаем вероятности $p_n$ для $n=1,2,3$. В M/M/1 модели они вычисляются по формуле:

$$p_n=\frac{{(\lambda /\mu )}^n}{n!}\cdot p_0$$

Подставим значения:

Для $n=1$:
$$p_1=\frac{{(\frac{1}{2}/\frac{1}{2,5})}^1}{1!}\cdot p_0=\frac{5}{2}\cdot \frac{48}{538}\approx 0,042$$

Для $n=2$:
$$p_2=\frac{{(\frac{1}{2}/\frac{1}{2,5})}^2}{2!}\cdot p_0=\frac{5^2}{(2^2\cdot 2)}\cdot \frac{48}{538}\approx 0,011$$

Для $n=3$:
$$p_3=\frac{{(\frac{1}{2}/\frac{1}{2,5})}^3}{3!}\cdot p_0=\frac{5^3}{(2^3\cdot 3\cdot 2)}\cdot \frac{48}{538}\approx 0,002$$

Теперь остается только рассчитать остальные значения.

Среднее количество машин, ожидающих заправку ($L_q$):

$$L_q=\sum _{n=1}^3(n-1)p_n=(1-1)p_1+(2-1)p_2+(3-1)p_3=p_1+2p_2+2p_3\approx 0,042+2\cdot 0,011+2\cdot 0,002\approx 0,068$$

Среднее время ожидания машины в очереди ($W_q$):

$$W_q=\frac{L_q}{\lambda }=\frac{0,068}{\frac{1}{2}}=0,068\cdot 2=0,136$$ минуты

Среднее время пребывания машины на АЗС ($W$):

$$W=\frac{L}{\lambda }=\frac{L_q+{\lambda }^{-1}}{\lambda }=\frac{L_q}{\lambda }+\frac{1}{\lambda }=W_q+\frac{1}{\lambda }=0,136+1\approx 1,136$$ минуты

Итак, ответ:

- Вероятность отказа ($P_{\text{отк}}$) примерно равна 0,002.
- Абсолютная проходимость АЗС ($A$) примерно равна 0,089.
- Среднее количество машин, ожидающих заправку ($L_q$), примерно равно 0,068.
- Среднее время ожидания машины в очереди ($W_q$) примерно равно 0,136 минуты.
- Среднее время пребывания машины на АЗС ($W$) примерно равно 1,136 минуты.