У АЗС имеется 3 заправочных колонки. Площадка, где машины ожидают заправку, может вместить только одну машину

Для решения данной задачи воспользуемся методом математического моделирования, а именно моделью M/M/1.

M/M/1 модель представляет собой систему массового обслуживания, в которой поступление требований и их обслуживание подчиняются процессам Пуассона.

Для начала определимся с обозначениями:
- \(\lambda\) - интенсивность поступления машин на АЗС (в скорости прибытия в минуту). В нашем случае \(\lambda = \frac{1}{2}\) (поскольку машины прибывают на станцию каждые 2 минуты).
- \(\mu\) - интенсивность обслуживания машин на АЗС (в скорости обслуживания в минуту). В нашем случае \(\mu = \frac{1}{2,5}\) (поскольку время заправки одной машины составляет в среднем 2,5 минуты).
- \(p_0\) - вероятность того, что на АЗС нет машин и площадка свободна.
- \(p_n\) - вероятность того, что на АЗС находится n машин.

Теперь рассчитаем все необходимые значения.

1. Вероятность отказа:
Вероятность отказа (\(P_{\text{отк}}\)) равна вероятности того, что на АЗС находится максимальное количество машин (т.е. 3) и площадка занята.
Таким образом, \(P_{\text{отк}} = p_3\).

2. Абсолютная проходимость АЗС:
Абсолютная проходимость АЗС (\(A\)) равна вероятности того, что на АЗС нет машин и площадка свободна.
Таким образом, \(A = p_0\).

3. Среднее количество машин, ожидающих заправку:
Среднее количество машин, ожидающих заправку (\(L_q\)) равно сумме вероятностей нахождения машин в очереди, умноженных на соответствующие значения.
Таким образом, \(L_q = \sum_{n=1}^{3} (n-1)p_n\).

4. Среднее время ожидания машины в очереди:
Среднее время ожидания машины в очереди (\(W_q\)) равно среднему количеству машин, ожидающих заправку, деленному на интенсивность поступления машин на АЗС.
Таким образом, \(W_q = \frac{L_q}{\lambda}\).

5. Среднее время пребывания машины на АЗС (включая обслуживание):
Среднее время пребывания машины на АЗС (\(W\)) равно среднему количеству машин на АЗС, включая обслуживание, деленному на интенсивность поступления машин на АЗС.
Таким образом, \(W = \frac{L}{\lambda}\).

Теперь рассчитаем все значения по формулам.

Для начала найдем значение \(p_0\). В M/M/1 модели оно вычисляется по формуле:

\[p_0 = \left( 1 + \sum_{n=1}^{N} \frac{{(\lambda/\mu)}^n}{n!} \right)^{-1}\]

где \(N\) - максимальное количество машин в системе (в нашем случае 3).

Подставив значения, получим:

\[p_0 = \left( 1 + \frac{{(\frac{1}{2}/\frac{1}{2,5})}^1}{1!} + \frac{{(\frac{1}{2}/\frac{1}{2,5})}^2}{2!} + \frac{{(\frac{1}{2}/\frac{1}{2,5})}^3}{3!} \right)^{-1}\]

\[p_0 = \left( 1 + \frac{{5}^1}{{2}^1} + \frac{{5}^2}{{2}^2 \cdot 2} + \frac{{5}^3}{{2}^3 \cdot 3 \cdot 2} \right)^{-1}\]

\[p_0 = \left( 1 + 5 + \frac{25}{8} + \frac{125}{48} \right)^{-1}\]

\[p_0 = \left( \frac{48}{48} + \frac{240}{48} + \frac{125}{48} + \frac{125}{48} \right)^{-1}\]

\[p_0 = \left( \frac{538}{48} \right)^{-1}\]

\[p_0 = \frac{48}{538} \approx 0,089 \]

Теперь рассчитаем вероятности \(p_n\) для \(n = 1, 2, 3\). В M/M/1 модели они вычисляются по формуле:

\[ p_n = \frac{{(\lambda/\mu)}^n}{n!} \cdot p_0\]

Подставим значения:

Для \(n = 1\):
\[p_1 = \frac{{(\frac{1}{2}/\frac{1}{2,5})}^1}{1!} \cdot p_0 = \frac{5}{2} \cdot \frac{48}{538} \approx 0,042 \]

Для \(n = 2\):
\[p_2 = \frac{{(\frac{1}{2}/\frac{1}{2,5})}^2}{2!} \cdot p_0 = \frac{5^2}{(2^2 \cdot 2)} \cdot \frac{48}{538} \approx 0,011 \]

Для \(n = 3\):
\[p_3 = \frac{{(\frac{1}{2}/\frac{1}{2,5})}^3}{3!} \cdot p_0 = \frac{5^3}{(2^3 \cdot 3 \cdot 2)} \cdot \frac{48}{538} \approx 0,002 \]

Теперь остается только рассчитать остальные значения.

Среднее количество машин, ожидающих заправку (\(L_q\)):

\[L_q = \sum_{n=1}^{3} (n-1)p_n = (1-1)p_1 + (2-1)p_2 + (3-1)p_3 = p_1 + 2p_2 + 2p_3 \approx 0,042 + 2 \cdot 0,011 + 2 \cdot 0,002 \approx 0,068 \]

Среднее время ожидания машины в очереди (\(W_q\)):

\[W_q = \frac{L_q}{\lambda} = \frac{0,068}{\frac{1}{2}} = 0,068 \cdot 2 = 0,136 \] минуты

Среднее время пребывания машины на АЗС (\(W\)):

\[W = \frac{L}{\lambda} = \frac{L_q + \lambda^{-1}}{\lambda} = \frac{L_q}{\lambda} + \frac{1}{\lambda} = W_q + \frac{1}{\lambda} = 0,136 + 1 \approx 1,136 \] минуты

Итак, ответ:

- Вероятность отказа (\(P_{\text{отк}}\)) примерно равна 0,002.
- Абсолютная проходимость АЗС (\(A\)) примерно равна 0,089.
- Среднее количество машин, ожидающих заправку (\(L_q\)), примерно равно 0,068.
- Среднее время ожидания машины в очереди (\(W_q\)) примерно равно 0,136 минуты.
- Среднее время пребывания машины на АЗС (\(W\)) примерно равно 1,136 минуты.