Тригонометрические функции содержатся в решении линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка

Для начала давайте разберемся, что такое линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Это уравнение, которое можно представить в следующем виде:

$$ay""+by"+cy=0,$$

где $y=y(x)$ - искомая функция, а $a,b$ и $c$ - постоянные коэффициенты, причем $a\ne 0$.

Теперь рассмотрим каждый из вариантов:

А) Корни характеристического уравнения являются комплексными.

Корни характеристического уравнения находятся из условия $\mathrm{\$}a{\lambda }^2+b\lambda +c=0$, где $\lambda$ - корни уравнения. При комплексных корнях $\lambda =\alpha \pm \beta i$, где $\alpha$ и $\beta$ - действительные числа, а $i$ - мнимая единица ($i^2=-1$).

Решение линейного однородного дифференциального уравнения в этом случае будет иметь вид:

$$y(x)=e^{\alpha x}(c_1\cos (\beta x)+c_2\sin (\beta x)),$$

где $c_1$ и $c_2$ - произвольные постоянные.

Б) Корни характеристического уравнения являются действительными и различными.

В этом случае корни характеристического уравнения ${\lambda }_1$ и ${\lambda }_2$ являются двумя различными вещественными числами.

Решение линейного однородного дифференциального уравнения будет выглядеть следующим образом:

$$y(x)=c_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+c_2{e}^{{\lambda }_{2}x},$$

где $c_1$ и $c_2$ - произвольные постоянные.

В) Корни характеристического уравнения являются вещественными и одинаковыми.

В этом случае корень характеристического уравнения $\lambda$ будет являться одним вещественным числом.

Решение линейного однородного дифференциального уравнения будет иметь следующий вид:

$$y(x)=(c_1+c_{2}x)e^{\lambda x},$$

где $c_1$ и $c_2$ - произвольные постоянные.

Таким образом, тригонометрические функции содержатся в решении линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, только если корни характеристического уравнения являются комплексными.