Тригонометрические функции содержатся в решении линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка

Для начала давайте разберемся, что такое линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Это уравнение, которое можно представить в следующем виде:

\[ay"" + by" + cy = 0,\]

где \(y = y(x)\) - искомая функция, а \(a, b\) и \(c\) - постоянные коэффициенты, причем \(a \neq 0\).

Теперь рассмотрим каждый из вариантов:

А) Корни характеристического уравнения являются комплексными.

Корни характеристического уравнения находятся из условия \(\$a\lambda^2 + b\lambda + c = 0\), где \(\lambda\) - корни уравнения. При комплексных корнях \(\lambda = \alpha \pm \beta i\), где \(\alpha\) и \(\beta\) - действительные числа, а \(i\) - мнимая единица (\(i^2 = -1\)).

Решение линейного однородного дифференциального уравнения в этом случае будет иметь вид:

\[y(x) = e^{\alpha x}(c_1\cos(\beta x) + c_2\sin(\beta x)),\]

где \(c_1\) и \(c_2\) - произвольные постоянные.

Б) Корни характеристического уравнения являются действительными и различными.

В этом случае корни характеристического уравнения \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\) являются двумя различными вещественными числами.

Решение линейного однородного дифференциального уравнения будет выглядеть следующим образом:

\[y(x) = c_1e^{\lambda_1 x} + c_2e^{\lambda_2 x},\]

где \(c_1\) и \(c_2\) - произвольные постоянные.

В) Корни характеристического уравнения являются вещественными и одинаковыми.

В этом случае корень характеристического уравнения \(\lambda\) будет являться одним вещественным числом.

Решение линейного однородного дифференциального уравнения будет иметь следующий вид:

\[y(x) = (c_1 + c_2x)e^{\lambda x},\]

где \(c_1\) и \(c_2\) - произвольные постоянные.

Таким образом, тригонометрические функции содержатся в решении линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, только если корни характеристического уравнения являются комплексными.