Triangle Solution (Find its unknown elements): A) a=20, α=75°, γ=45° B) a=10, b=14, γ=145° C) a=15, b=24, c=20

A) Для решения этой задачи, мы должны использовать тригонометрические соотношения, такие как синус, косинус и тангенс. Начнем с рассмотрения случая A.

У нас есть треугольник с известными сторонами a=20 и углами α=75° и γ=45°.

1. Для начала, найдем угол β, используя формулу для суммы углов треугольника: α + β + γ = 180°.
Заметим, что β = 180° - α - γ = 180° - 75° - 45° = 60°.

2. Теперь мы можем использовать закон синусов, чтобы найти оставшиеся стороны треугольника.
Согласно закону синусов, отношение между сторонами и синусами соответствующих углов равно:
$$\frac{a}{\sin (\alpha )}=\frac{b}{\sin (\beta )}=\frac{c}{\sin (\gamma )}.$$

Подставим известные значения:
$$\frac{20}{\sin (75°)}=\frac{b}{\sin (60°)}=\frac{c}{\sin (45°)}.$$

Теперь найдем сторону b:
b = 20 * $\frac{\sin (60°)}{\sin (75°)}$.
Подставим значения синусов: $b\approx 20\ast \frac{0.866}{0.966}\approx 17.93$.

Найдем сторону c:
c = 20 * $\frac{\sin (45°)}{\sin (75°)}$.
Подставим значения синусов: $c\approx 20\ast \frac{0.707}{0.966}\approx 14.47$.

Таким образом, для треугольника A с данными сторонами и углами, сторона b примерно равна 17.93, а сторона c примерно равна 14.47.

B) Теперь рассмотрим треугольник B с известными сторонами a=10, b=14 и углом γ=145°.

1. Найдем угол α, используя закон косинусов:
$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos (\alpha )$.
Подставив известные значения, получим:
${10}^2={14}^2+c^2-2\cdot 14\cdot c\cdot \cos (\alpha )$.

Данная формула может быть преобразована к виду:
$c^2-28c\cdot \cos (\alpha )+96=0$.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно c.

2. Рассмотрим угол β. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому β = 180° - α - γ = 180° - α - 145°.

3. Используем закон синусов для нахождения оставшихся сторон:
$\frac{a}{\sin (\alpha )}=\frac{b}{\sin (\beta )}=\frac{c}{\sin (\gamma )}.$

Подставив известные значения, получим:
$\frac{10}{\sin (\alpha )}=\frac{14}{\sin (\beta )}=\frac{c}{\sin (145°)}.$

Мы уже нашли угол α в первом шаге, поэтому мы можем решить уравнение относительно стороны c:
$c=10\cdot \frac{\sin (145°)}{\sin (\alpha )}.$
Ответ: $c\approx 18.69$.

Таким образом, для треугольника B с известными сторонами и углами, сторона c примерно равна 18.69.

C) Наконец, рассмотрим треугольник C с известными сторонами a=15, b=24 и c=20.

Мы можем использовать закон косинусов для нахождения углов.

1. Угол α:
$\cos (\alpha )=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.$
Подставим известные значения, получим:
$\cos (\alpha )=\frac{{24}^2+{20}^2-{15}^2}{2\cdot 24\cdot 20}.$

Мы можем рассчитать α, применяя обратный косинус (тангенс).

2. Угол β:
$\cos (\beta )=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}.$
Подставим значения и найденное значение α, получим:
$\cos (\beta )=\frac{{20}^2+{15}^2-{24}^2}{2\cdot 20\cdot 15}.$

Мы можем рассчитать β, применяя обратный косинус (тангенс).

3. Угол γ:
Так как сумма углов треугольника равна 180°, то γ = 180° - α - β.

Теперь мы знаем все углы треугольника C.

Это решение поможет вам найти значения или углы неизвестных сторон в трех задачах с треугольниками.