Требуется решение) Докажите, что плоскость SAD перпендикулярна плоскости, проходящей через стороны AB

Чтобы доказать, что плоскость SAD перпендикулярна плоскости, проходящей через стороны AB и AD прямоугольника ABCD, и проходящей через его вершину, мы можем использовать свойство перпендикулярности, согласно которому две плоскости перпендикулярны между собой, если их нормальные векторы являются перпендикулярными.

1. Сначала, давайте найдем нормальные векторы для обеих плоскостей.
Плоскость, проходящая через стороны AB и AD прямоугольника ABCD, и проходящая через вершину B, имеет следующий нормальный вектор: \(\vec{n_1} = \vec{AB} \times \vec{AD}\).
Плоскость SAD имеет стороны SD и AD, поэтому нормальный вектор этой плоскости будет равен: \(\vec{n_2} = \vec{SD} \times \vec{AD}\).

2. Теперь проведем доказательство. Для этого нам нужно показать, что нормальные векторы \(\vec{n_1}\) и \(\vec{n_2}\) являются перпендикулярными.

Запишем скалярное произведение этих двух векторов и проверим, что оно равно нулю:

\(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (\vec{AB} \times \vec{AD}) \cdot (\vec{SD} \times \vec{AD})\)

Применим свойство скалярного произведения векторов:

\(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = ((\vec{AB} \times \vec{AD}) \times \vec{SD}) \cdot \vec{AD}\)

Далее, воспользуемся свойством смешанного произведения:

\(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (\vec{AB} \times \vec{AD}) \cdot (\vec{SD} \times \vec{AD}) = (\vec{AB} \times \vec{AD}) \cdot (\vec{AD} \times \vec{SD})\)

Так как векторное произведение обладает свойством антикоммутативности, мы можем изменить порядок векторов:

\(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (\vec{AB} \times \vec{AD}) \cdot (\vec{AD} \times \vec{SD}) = (\vec{AD} \times \vec{AB}) \cdot (\vec{AD} \times \vec{SD})\)

Затем воспользуемся свойством скалярного произведения двух векторов, обладающих общим вектором:

\(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = ||(\vec{AD} \times \vec{AB})||^2\)

Обратите внимание на выражение \((\vec{AD} \times \vec{AB})\). Это векторное произведение сторон AD и AB прямоугольника ABCD, которое является нормальным вектором его плоскости. Применим определение скалярного произведения вектора на самого себя:

\(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = ||(\vec{AD} \times \vec{AB})||^2 = ||\vec{n_1}||^2\)

Таким образом, мы получили, что \(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = ||\vec{n_1}||^2\). Поскольку скалярное произведение \(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}\) равно квадрату длины \(\vec{n_1}\), и при этом нормальный вектор \(\vec{n_1}\) не является нулевым вектором (так как прямоугольник ABCD не является вырожденным), то мы можем заключить, что \(\vec{n_1}\) и \(\vec{n_2}\) перпендикулярны друг другу.

Следовательно, плоскость SAD перпендикулярна плоскости, проходящей через стороны AB и AD прямоугольника ABCD, и проходящей через его вершину.

Надеюсь, это решение было понятным и подробным для вас! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.