Требуется доказать, что векторное равенство AB+AD=AC верно для параллелограмма ABCD («правило параллелограмма»

Для доказательства векторного равенства AB + AD = AC в параллелограмме ABCD (правило параллелограмма), давайте воспользуемся свойствами векторов и геометрической интерпретацией.

Во-первых, мы можем представить каждый из данных векторов AB, AD и AC в виде комбинации координатных векторов. Пусть A, B, C и D - это вершины параллелограмма ABCD, а a, b, c, d - соответствующие координатные векторы. Тогда мы можем записать:

AB = B - A = b - a
AD = D - A = d - a
AC = C - A = c - a

Во-вторых, мы знаем, что в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Таким образом, вектор BC будет равен вектору AD (BC = AD), и вектор DC будет равен вектору AB (DC = AB). Выражая BC и DC через координатные векторы, мы получаем:

BC = C - B = c - b
DC = C - D = c - d

Теперь, используя уравнения BC = AD и DC = AB, мы можем записать:

AD = BC = C - B = c - b
AB = DC = C - D = c - d

Таким образом, имеем:

AB + AD = (c - a) + (c - b)
= 2c - (a + b)

AC = c - a

Мы видим, что векторная сумма AB + AD и вектор AC имеют одну и ту же координатную форму, поэтому мы можем сделать вывод, что векторное равенство AB + AD = AC верно для параллелограмма ABCD.

Это доказывает «правило параллелограмма», которое утверждает, что векторная сумма двух сторон параллелограмма равна диагонали, соединяющей их общую вершину.

Мы использовали свойства векторов и геометрическое рассуждение для доказательства данного равенства.