Точки L и N являются серединами оснований BC и AD трапеции ABCD соответственно, а точки K и M - серединами диагоналей

а) Для доказательства, что сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, воспользуемся свойством параллельных прямых. Обозначим угол между основанием AB и прямыми LK и NM как угол α.

Известно, что KM = LN, и так как KM и LN являются диагоналями трапеции ABCD, то KLMN - это параллелограмм. В параллелограмме противолежащие углы равны, поэтому между прямыми MK и NL также есть угол α.

Также, так как L и N являются серединами оснований BC и AD соответственно, то прямые LK и NM делят основания пополам. Таким образом, прямые LK и NM также являются средними линиями трапеции ABCD.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Из свойств средних линий треугольника известно, что средняя линия параллельна третьей стороне и равна половине длины этой стороны. В нашем случае, прямая LK является средней линией с основой BC. Аналогично, прямая NM является средней линией с основой AD.

Из этих свойств следует, что LK || BC и NM || AD. Тогда угол α является соответственным углом и равен углу между прямыми BC и AD. Обозначим этот угол как β.

Таким образом, имеем α = β.

Но известно также, что сумма углов при одном из оснований трапеции равна 180°. Обозначим эту сумму как γ.

Тогда γ = α + β.

Но мы выяснили, что α = β, следовательно γ = 2α.

Так как сумма углов треугольника равна 180°, имеем α + α + γ = 180°.

Подставляем γ = 2α в уравнение и получаем:

2α + 2α = 180°,

4α = 180°,

α = 45°.

Таким образом, сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, так как α = 45°.

б) Чтобы найти высоту трапеции, воспользуемся формулой для площади трапеции.

Площадь трапеции можно найти как произведение полусуммы оснований на высоту. Обозначим разность оснований как d.

Площадь трапеции равна S = \(\frac{{(BC + AD)h}}{2}\), где h - высота трапеции.

Из условия задачи известно, что площадь четырёхугольника KLMN равна 12 и разность оснований равна d.

Поэтому у нас есть уравнение \(\frac{{(BC + AD)h}}{2} = 12\) и \(BC - AD = d\).

Так как точки L и N являются серединами оснований BC и AD, то BC = 2BL и AD = 2DN.

Заменим BC и AD в уравнении и получим \(\frac{{(2BL + 2DN)h}}{2} = 12\) и \(2BL - 2DN = d\).

Упростим уравнения, деля оба на 2:

BL + DN = 6 и BL - DN = \(\frac{d}{2}\).

Сложим оба уравнения: 2BL = 6 + \(\frac{d}{2}\).

BL = 3 + \(\frac{d}{4}\).

Так как LN - серединный перпендикуляр к основанию BC, то прямые BL и DN равны. Поэтому BL = DN = 3 + \(\frac{d}{4}\).

Теперь мы можем найти высоту h, заменив значения BL и DN в исходной формуле. Получим:

\(\frac{{(2BL + 2DN)h}}{2} = 12\).

\(\frac{{2(3 + \frac{d}{4})h}}{2} = 12\).

(3 + \(\frac{d}{4}\))h = 12.

3h + \(\frac{dh}{4}\) = 12.

Разделим оба выражения на 3:

h + \(\frac{dh}{12}\) = 4.

Умножим оба выражения на 12:

12h + dh = 48.

h(12 + d) = 48.

Таким образом, высота трапеции равна \(h = \frac{48}{12+d}\)