Т16. Area of a circular sector and segment. Complete the table. R - radius of the circle; a - length of the chord

1) Для решения данной задачи, нам понадобятся следующие формулы:

Длина хорды:
\[a = 2R\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\]

Площадь сектора:
\[S_{sec} = \frac{\alpha}{360^\circ} \pi R^2\]

Площадь сегмента:
\[S_{seg} = S_{sec} - \frac{R^2}{2}(\sin\alpha - \alpha)\]

Площадь треугольника AOV:
Для нахождения площади треугольника, нам нужно знать длину стороны треугольника. Однако, в данной задаче длина стороны треугольника не задана, поэтому мы не сможем рассчитать площадь треугольника.

1) Дано: радиус окружности \(R = 4\), центральный угол \(\alpha = 120^\circ\)
Найти: длину хорды \(a\), площадь сектора \(S_{sec}\), площадь сегмента \(S_{seg}\) и площадь треугольника AOV.

- Длина хорды:
\[a = 2R\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\]
\[a = 2 \cdot 4 \cdot \sin\left(\frac{120}{2}\right)\]
\[a = 2 \cdot 4 \cdot \sin(60)\]
\[a = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[a = 4\sqrt{3}\]

- Площадь сектора:
\[S_{sec} = \frac{\alpha}{360^\circ} \pi R^2\]
\[S_{sec} = \frac{120}{360^\circ} \pi (4)^2\]
\[S_{sec} = \frac{1}{3} \pi (4)^2\]
\[S_{sec} = \frac{16}{3} \pi\]

- Площадь сегмента:
\[S_{seg} = S_{sec} - \frac{R^2}{2}(\sin\alpha - \alpha)\]
\[S_{seg} = \frac{16}{3} \pi - \frac{(4)^2}{2}(\sin(120^\circ) - 120^\circ)\]
\[S_{seg} = \frac{16}{3} \pi - 8(\frac{\sqrt{3}}{2} - 120^\circ)\]
\[S_{seg} = \frac{16}{3} \pi - 8(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{3})\]

Однако, мы не сможем вычислить площадь треугольника AOV, так как нам неизвестна длина стороны треугольника.

2) Дано: центральный угол \(\alpha = 30^\circ\), площадь сектора \(S_{sec}\)
Найти: радиус \(R\), площадь сектора \(S_{sec}\), площадь сегмента \(S_{seg}\) и площадь треугольника AOV.

- Радиус:
\[R = \sqrt{\frac{S_{sec}}{\frac{\alpha}{360^\circ} \pi}}\]
\[R = \sqrt{\frac{S_{sec}}{\frac{30}{360^\circ} \pi}}\]
\[R = \sqrt{\frac{S_{sec}}{\frac{1}{12} \pi}}\]
\[R = \sqrt{\frac{12S_{sec}}{\pi}}\]

- Площадь сегмента:
\[S_{seg} = S_{sec} - \frac{R^2}{2}(\sin\alpha - \alpha)\]
\[S_{seg} = S_{sec} - \frac{(\sqrt{\frac{12S_{sec}}{\pi}})^2}{2}(\sin(30^\circ) - 30^\circ)\]
\[S_{seg} = S_{sec} - \frac{12S_{sec}}{\pi}(\frac{1}{2} - \frac{\pi}{6})\]
\[S_{seg} = S_{sec} - \frac{12S_{sec}}{\pi}(\frac{1}{2} - \frac{\pi}{6})\]

Аналогично, мы не сможем рассчитать площадь треугольника AOV, так как нам неизвестна длина стороны треугольника.

3) Дано: радиус окружности \(R = 4\), площадь сектора \(S_{sec}\)
Найти: длину хорды \(a\), центральный угол \(\alpha\), площадь сегмента \(S_{seg}\)

- Длина хорды:
\[a = 2R\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\]
\[a = 2 \cdot 4 \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\]

- Центральный угол:
Зная площадь сектора \(S_{sec}\), мы можем использовать следующую формулу для нахождения угла:
\[S_{sec} = \frac{\alpha}{360^\circ} \pi R^2\]
\(\alpha\) = \(360^\circ \cdot \frac{S_{sec}}{\pi R^2}\)

- Площадь сегмента:
\[S_{seg} = S_{sec} - \frac{R^2}{2}(\sin\alpha - \alpha)\]

Аналогично, в данном случае мы не сможем рассчитать площадь треугольника AOV, так как нам неизвестна длина стороны треугольника.