Существуют векторы a, b, c, которые не лежат в одной плоскости. Известно, что вектор d определяется как d=a-2b+3c

Чтобы найти разложение вектора \( d_1 \) по векторам \( a \), \( b \) и \( c \), нам нужно определить коэффициенты, с помощью которых можно получить вектор \( d_1 \) из данных векторов.

Известно, что векторы \( d \) и \( d_1 \) сонаправлены, а длина \( d_1 \) втрое больше длины \( d \).

Пусть коэффициент перед вектором \( a \) равен \( x \), коэффициент перед вектором \( b \) равен \( y \), а коэффициент перед вектором \( c \) равен \( z \).

Тогда разложение вектора \( d_1 \) будет иметь следующий вид:

\[ d_1 = x \cdot a + y \cdot b + z \cdot c \]

Также известно, что длина вектора \( d_1 \) втрое больше длины вектора \( d \):

\[ \| d_1 \| = 3 \cdot \| d \| \]

А поскольку векторы \( d \), \( a \), \( b \), \( c \) не лежат в одной плоскости, они линейно независимы.

Теперь подставим вектор \( d \) и \( d_1 \) в выражение для разложения и рассмотрим модули (длины) этих векторов:

\[ \| d_1 \| = \| x \cdot a + y \cdot b + z \cdot c \| = 3 \cdot \| a - 2b + 3c \| \]

Но так как вектор \( d \) и \( d_1 \) сонаправлены, то их направления и длины пропорциональны. Из этого следует, что:

\[ \| x \cdot a + y \cdot b + z \cdot c \| = 3 \cdot \| a - 2b + 3c \| \]

Поскольку векторы \( a \), \( b \), \( c \) не лежат в одной плоскости, система векторов является линейно независимой. Значит, это значит, что векторы \( a - 2b + 3c \) и \( x \cdot a + y \cdot b + z \cdot c \) являются коллинеарными, т.е. параллельными.

Отсюда получаем, что:

\[ x \cdot a + y \cdot b + z \cdot c = k \cdot (a - 2b + 3c) \]

где \( k \) - некоторая константа.

Теперь найдем коэффициент \( k \):

\[ \| x \cdot a + y \cdot b + z \cdot c \| = \| k \cdot (a - 2b + 3c) \| \]

А также учитывая, что

\[ \| k \cdot (a - 2b + 3c) \| = |k| \cdot \| a - 2b + 3c \| \]

получим:

\[ \| x \cdot a + y \cdot b + z \cdot c \| = |k| \cdot \| a - 2b + 3c \| \]

Окончательно, учитывая наше условие:

\[ 3 \cdot \| a - 2b + 3c \| = |k| \cdot \| a - 2b + 3c \| \]

находим:

\[ |k| = 3 \]

Поскольку вектор \( d \) и \( d_1 \) сонаправлены, то мы можем найти коэффициент \( k \) со знаком \( + \) (если вектор \( d_1 \) сонаправлен с \( d \)) или со знаком \( - \) (если вектор \( d_1 \) противоположно направлен к \( d \)).

В данной задаче для нахождения разложения вектора \( d_1 \) по векторам \( a \), \( b \) и \( c \), мы можем выбрать положительное значение \( k \). Пусть \( k = 3 \). Тогда получим:

\[ x \cdot a + y \cdot b + z \cdot c = 3 \cdot (a - 2b + 3c) \]

Теперь сравниваем соответствующие коэффициенты при \( x \), \( y \) и \( z \) и получаем систему уравнений:

\[
\begin{cases}
x = 3 \\
-2y = 3 \\
3z = 3 \\
\end{cases}
\]

В результате получаем:

\[
\begin{cases}
x = 3 \\
y = -\frac{3}{2} \\
z = 1 \\
\end{cases}
\]

Итак, разложение вектора \( d_1 \) по векторам \( a \), \( b \) и \( c \) будет:

\[ d_1 = 3 \cdot a - \frac{3}{2} \cdot b + c \]

Это и есть искомое разложение вектора \( d_1 \) по векторам \( a \), \( b \) и \( c \).