Существуют ли такие действительные числа x и y, что результат выражения (2x-3yi)(2x+3yi)+xi будет равен 97+2i?

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Дано выражение: \((2x-3yi)(2x+3yi)+xi\)

Давайте раскроем скобки в первой части выражения, используя формулу разности квадратов:
\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)

Раскроем скобки:
\((2x-3yi)(2x+3yi) = (2x)^2 - (3yi)^2\)

Упростим с помощью правила i² = -1:
\((2x)^2 - (3yi)^2 = 4x^2 - 9y^2(i^2)\)

Так как i² = -1, то:
\((2x)^2 - (3yi)^2 = 4x^2 + 9y^2\)

Теперь добавим к этому результату \xi, получим:
\(4x^2 + 9y^2 + xi\)

Мы хотим, чтобы это выражение было равно \(97 + 2i\).

Из этого можно сделать два уравнения. Одно для констант и одно для коэффициентов при x и y.

Уравнение для констант:
\(4x^2 + 9y^2 = 97\)

Уравнение для коэффициентов при x и y:
\(x = 0\) и \(1 = 2\)

Решим сначала уравнение для констант. Рассмотрим его подробнее.

Из этого уравнения можно выразить одну переменную через другую. Давайте решим его относительно \(x\).

Делим обе части уравнения на 4:
\(x^2 + \frac{9}{4}y^2 = \frac{97}{4}\)

Вычитаем \(\frac{9}{4}y^2\) из обеих частей:
\(x^2 = \frac{97}{4} - \frac{9}{4}y^2\)

Далее, возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\((x^2)^2 = (\frac{97}{4} - \frac{9}{4}y^2)^2\)

И упростим выражение:
\(x^4 = (\frac{97}{4} - \frac{9}{4}y^2)^2\)

Теперь произведем аналогичные шаги для переменной \(y\). Решим уравнение относительно \(y\).

Приравняем коэффициент при \(y^2\) к нулю и решим уравнение:
\(\frac{9}{4}y^2 = \frac{97}{4}\)
\(y^2 = \frac{97}{9}\)
\(y = \pm \sqrt{\frac{97}{9}}\)

Теперь, подставив значения \(y\) в уравнение для \(x\), получим два значения \(x\):
\(x = 0\) и \(x = \pm \sqrt{\frac{97}{4} - \frac{9}{4}y^2}\)

Подставим значения \(x\) и \(y\) в исходное выражение:
\((2x-3yi)(2x+3yi)+xi\)
Если подставить \(x = 0\) и \(y = \pm \sqrt{\frac{97}{9}}\), то получим:

Для \(x = 0\) и \(y = \sqrt{\frac{97}{9}}\):
\((0 - 3\sqrt{\frac{97}{9}}i)(0 + 3\sqrt{\frac{97}{9}}i) + 0i\)
\(-\frac{291}{3}i^2 + 0i\)
\(\frac{291}{3} - 0i\)
\(\frac{97}{3} + 0i\)

Для \(x = 0\) и \(y = -\sqrt{\frac{97}{9}}\):
\((0 - 3\sqrt{\frac{97}{9}}i)(0 + 3\sqrt{\frac{97}{9}}i) + 0i\)
\(-\frac{291}{3}i^2 + 0i\)
\(\frac{291}{3} - 0i\)
\(\frac{97}{3} + 0i\)

Таким образом, существуют такие действительные числа \(x\) и \(y\), что исходное выражение будет равно \(97+2i\). Одно из таких возможных решений:
\(x = 0\), \(y = \sqrt{\frac{97}{9}}\) или \(y = -\sqrt{\frac{97}{9}}\).

Это подробное решение должно быть понятно для школьников.