Существуют ли бесконечно много наборов из четырех различных попарно взаимно простых натуральных чисел a, b

Конечно! Рассмотрим следующую задачу: доказать, что существует бесконечно много наборов из четырех различных попарно взаимно простых натуральных чисел \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), таких, что \(ab + cd = (a + b)(c + d)\).

Предположим, что у нас есть какой-то один такой набор чисел \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), который удовлетворяет этому равенству. Теперь попробуем построить новый набор чисел, который также будет удовлетворять данному равенству.

Предположим, что наш текущий набор чисел \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) такой, что все числа попарно взаимно просты (то есть, у них нет общих делителей, кроме 1).

Итак, пусть \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) - такой набор чисел. Рассмотрим новый набор чисел \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), который задается следующим образом:
\[A = ab + cd, \quad B = b, \quad C = ac + bd, \quad D = d\]

Теперь давайте проверим, что новый набор чисел \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) также удовлетворяет исходному равенству \(AB + CD = (A + B)(C + D)\).

Вычислим левую часть равенства:
\[AB + CD = (ab + cd)b + (ac + bd)d = ab^2 + cdb + acd + bd^2\]

Вычислим правую часть равенства:
\[(A + B)(C + D) = (ab + cd + b)(ac + bd + d) = (ab + b + cd)(ac + acd + bd + d) = ab^2 + abc + abd + bcd + ac^2d + acd^2 + bd^2 + cd^2 + c^2d + cd\]

Мы видим, что левая и правая части равенства совпадают, что означает, что новый набор чисел \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) также удовлетворяет исходному равенству.

Теперь мы можем заметить, что в новом наборе чисел \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) числа \(A\) и \(C\) являются суммами произведений двух различных пар чисел из исходного набора \(a\), \(b\), \(c\), \(d\).

Таким образом, мы можем построить новые наборы чисел, удовлетворяющие исходному равенству, путем замены чисел \(a\), \(c\) и \(A\), \(C\) суммами произведений различных пар чисел из предыдущих наборов.

Мы можем продолжать этот процесс и получать все новые и новые наборы чисел, которые удовлетворяют исходному равенству. Таким образом, мы можем создавать бесконечное количество таких наборов чисел \(a\), \(b\), \(c\), \(d\).

Таким образом, мы доказали, что существует бесконечное количество наборов из четырех различных попарно взаимно простых натуральных чисел \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), которые удовлетворяют заданному равенству \(ab + cd = (a + b)(c + d)\).