Стрелок может промахнуться одним выстрелом с вероятностью 0,2. У стрелка есть 8 выстрелов, и он сделает 8 выстрелов

а) Чтобы найти вероятность того, что стрелок промахнется точно один раз, мы можем использовать биномиальное распределение.

В данной задаче, вероятность промаха стрелка считается успехом, а вероятность попадания - неудачей. Вероятность успеха (промаха) обозначим как p = 0,2, а количество испытаний (выстрелов) обозначим как n = 8.

Используя формулу биномиального распределения, мы можем найти вероятность промаха стрелка ровно один раз:

\[P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Где:
P(X=k) - вероятность того, что промахов будет k раз,
n - количество испытаний (выстрелов),
k - количество успехов (промахов),
p - вероятность одного успеха (промаха).

Для данной задачи, мы хотим найти вероятность промаха стрелка ровно один раз. Подставим значения в формулу:

\[P(X=1) = \binom{8}{1} \cdot 0,2^1 \cdot (1-0,2)^{8-1}\]

Вычисляя это выражение, получим:

\[P(X=1) = 8 \cdot 0,2 \cdot 0,8^7 \approx 0,33554432\]

Таким образом, вероятность того, что стрелок промахнется ровно один раз, составляет примерно 0,33554432.

б) Чтобы найти вероятность того, что стрелок промахнется не более одного раза, мы можем сложить вероятности промахов ровно 0 раз и ровно 1 раз.

Вероятность промаха ровно 0 раз равна вероятности попадания во всех восьми выстрелах:

\[P(X=0) = \binom{8}{0} \cdot 0,2^0 \cdot (1-0,2)^{8-0} = 1 \cdot 1 \cdot 0,8^8 \approx 0,16777216\]

Вероятность промаха ровно 1 раз мы уже вычислили в предыдущем пункте:

\[P(X=1) = 0,33554432\]

Теперь сложим эти две вероятности, чтобы получить искомую вероятность:

\[P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1) \approx 0,16777216 + 0,33554432 = 0,50331648\]

Таким образом, вероятность того, что стрелок промахнется не более одного раза, составляет примерно 0,50331648.

3. Чтобы найти вероятность того, что баскетболист А попадет в корзину хотя бы 4 раза из 6 попыток, мы можем использовать биномиальное распределение.

Используя формулу биномиального распределения, мы можем найти вероятность того, что баскетболист А попадет в корзину ровно k раз из 6 попыток:

\[P(X=k) = \binom{6}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{6-k}\]

Где:
P(X=k) - вероятность того, что попаданий будет k раз,
6 - количество попыток,
k - количество успехов (попаданий),
p - вероятность одного успеха (попадания).

Мы хотим найти вероятность того, что баскетболист А попадет в корзину хотя бы 4 раза из 6 попыток. Для этого мы можем сложить вероятности попаданий ровно 4 раза, 5 раз и 6 раз.

\[P(X \geq 4) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)\]

Мы придем к этому пункту сразу:

\[P(X=4) = \binom{6}{4} \cdot 0,7^4 \cdot (1-0,7)^{6-4}\]
\[P(X=5) = \binom{6}{5} \cdot 0,7^5 \cdot (1-0,7)^{6-5}\]
\[P(X=6) = \binom{6}{6} \cdot 0,7^6 \cdot (1-0,7)^{6-6}\]

Подставив значения в формулу, получим:

\[P(X=4) \approx 0,324135шейклаpftf^\cdots\]
\[P(X=5) \approx 0,04110108шейклаpftf^\cdots\]
\[P(X=6) = 0,7^6 \approx 0,117649\]

Суммируя эти три вероятности, получаем искомую вероятность:

\[P(X \geq 4) \approx 0,324135 + 0,04110108 + 0,117649 \approx 0,48288508\]

Таким образом, вероятность того, что баскетболист А попадет в корзину хотя бы 4 раза из 6 попыток, составляет примерно 0,48288508.