Среди участников художественного кружка был организован конкурс. Всего было 11 детей. На следующий день родители

Для решения данной задачи, давайте предположим, что все дети, кроме одного, солгали о своих местах. Тогда нам нужно найти такое количество детей, которые могут солгать о своих местах, чтобы сумма заявленных мест составляла 72.

Обозначим через \(x\) количество детей, которые сказали правду о своих местах. Тогда количество детей, которые солгали об их местах, будет равно \(11 - x\).

Так как некоторые дети заявили о более высоком месте, это означает, что существует некоторое число, которое встречается в заявленных местах как минимум дважды. Поскольку максимальное количество мест, которые могут быть, составляет 11, то это число не может быть больше 11.

Предположим, что самое большое число, которое встречается несколько раз, равно \(n\). Тогда нам нужно найти такое количество детей, которые заявили о местах от 1 до \(n\).

В каждом из этих мест может быть только одно заявление, поэтому сумма заявленных мест от 1 до \(n\) будет равна сумме натуральных чисел от 1 до \(n\), которая может быть вычислена по формуле:

\[\frac{n(n+1)}{2}\]

Найдем значение \(n\) для которого \(\frac{n(n+1)}{2} = 72\).

Решим квадратное уравнение:

\[\frac{n^2 + n}{2} = 72\]

Перенесем все члены уравнения влево и получаем:

\[n^2 + n - 144 = 0\]

Решая это уравнение, получим два корня: \(n_1 = 11\) и \(n_2 = -12\). Так как нам нужно максимальное количество детей, то отрицательные значения не рассматриваем.

Таким образом, самое большое число, которое встречается несколько раз, составляет 11. Подставим это значение \(n\) в формулу \(\frac{n(n+1)}{2}\), чтобы найти количество детей, которые заявили о местах от 1 до 11:

\[\frac{11 \cdot 12}{2} = 66\]

Теперь, чтобы найти количество детей, которые солгали о своих местах, вычтем найденное количество правильных заявлений из общего количества детей:

\[11 - 66 = -55\]

Отрицательное значение означает, что все дети сказали правду о своих местах, так как мы предположили, что все дети, кроме одного, солгали о своих местах. Следовательно, ни один ребенок не может солгать о своем месте среди этих художников.