Среди группы из 30 плодовых мушек, 10 мушек имеют красные глаза. Если наудачу выбрать 3 мушек, какова вероятность того

Чтобы решить эту задачу, нам нужно сначала определить общее количество способов выбрать 3 мушки из 30. Затем мы найдем количество способов выбрать 3 мушки, среди которых будет ровно одна с красными глазами. Наконец, мы разделим количество способов выбрать ровно одну мушку с красными глазами на общее количество способов выбора трех мушек.

Итак, общее количество способов выбрать 3 мушки из 30 можно вычислить с помощью формулы сочетаний. Формула сочетаний записывается следующим образом:

\[{n \choose k} = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

Где \(n\) - общее количество объектов (мушек), а \(k\) - количество объектов (мушек), которые мы выбираем. В нашем случае \(n = 30\) и \(k = 3\). Подставив эти значения в формулу, мы получим:

\[{30 \choose 3} = \frac{{30!}}{{3! \cdot (30-3)!}} = \frac{{30!}}{{3! \cdot 27!}}\]

Теперь давайте определим количество способов выбрать 3 мушки, среди которых будет ровно одна с красными глазами. Поскольку 10 мушек имеют красные глаза, а нужно выбрать только одну из них, а остальные 2 из оставшихся 20 мушек, мы можем вычислить количество способов следующим образом:

\(10\) (количество способов выбрать одну мушку с красными глазами) \(\cdot\) \({20 \choose 2}\) (количество способов выбрать две мушки из 20 без красных глаз)

Теперь, чтобы найти вероятность того, что одна из выбранных трех мушек будет иметь красные глаза, мы разделим количество способов выбрать одну мушку с красными глазами на общее количество способов выбрать три мушки:

\[\frac{{10 \cdot {20 \choose 2}}}{{30 \choose 3}}\]

Теперь давайте рассчитаем эту вероятность.

\({20 \choose 2}\) вычислим с использованием формулы сочетаний:

\[{20 \choose 2} = \frac{{20!}}{{2! \cdot (20-2)!}} = \frac{{20!}}{{2! \cdot 18!}}\]

Подставляем эту формулу в формулу для вероятности и упрощаем:

\[\frac{{10 \cdot \frac{{20!}}{{2! \cdot 18!}}}}{{\frac{{30!}}{{3! \cdot 27!}}}}\]

Упрощаем дальше:

\[\frac{{10 \cdot 20! \cdot 3! \cdot 27!}}{{2! \cdot 18! \cdot 30!}}\]

Теперь некоторые части формулы упрощаются:

\(3!\) и \(2!\) сокращаются:

\[\frac{{10 \cdot 20! \cdot 3! \cdot 27!}}{{2! \cdot 18! \cdot 30!}} = \frac{{10 \cdot 20! \cdot 27!}}{{18! \cdot 30!}}\]

\(18!\) в числителе и знаменателе сокращается:

\[\frac{{10 \cdot 20! \cdot 27!}}{{18! \cdot 30!}} = \frac{{10 \cdot 20! \cdot 27!}}{{30!}}\]

Теперь мы можем заметить, что \(30!\) в знаменателе можно представить как \(30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27!\):

\[\frac{{10 \cdot 20! \cdot 27!}}{{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27!}} = \frac{{10 \cdot 20!}}{{30 \cdot 29 \cdot 28}} = \frac{{10 \cdot 20}}{{30 \cdot 29 \cdot 28}}\]

Теперь мы можем умножить и упростить эту дробь:

\[\frac{{10 \cdot 20}}{{30 \cdot 29 \cdot 28}} = \frac{{200}}{{24360}} = \frac{{5}}{{608}}\]

Таким образом, вероятность того, что одна из выбранных трех мушек будет иметь красные глаза, составляет \(\frac{{5}}{{608}}\) или примерно \(0.0082\).