Какое трехзначное число было вначале, если оно делится на 17, а после приписывания его же справа получается

Данная задача может быть решена с помощью системы уравнений. Давайте обозначим неизвестное трехзначное число за \(\overline{abc}\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - его цифры.

В таком случае, согласно условию, имеем два уравнения:

Уравнение 1: \(\overline{abc} \cdot 1000 + \overline{abc} = 100000 \cdot a + 10000 \cdot b + 1000 \cdot c + 100 \cdot a + 10 \cdot b + c\).

Уравнение 2: \((100000 \cdot a + 10000 \cdot b + 1000 \cdot c + 100 \cdot a + 10 \cdot b + c) \mod 18 = 0\).

Далее, приведем уравнение 2 к простому виду:

\(100100 \cdot a + 10010 \cdot b + 1001 \cdot c = 18 \cdot (5556 \cdot a + 617 \cdot b + 68 \cdot c)\).

Теперь, учтем, что трехзначное число \(\overline{abc}\) делится на 17. Это означает, что:

\(100 \cdot a + 10 \cdot b + c = 17 \cdot k\), где \(k\) - некоторое целое число.

Подставим значение \(17 \cdot k\) вместо \(\overline{abc}\) в уравнение 1:

\(17 \cdot k \cdot 1000 + 17 \cdot k = 100000 \cdot a + 10000 \cdot b + 1000 \cdot c + 100 \cdot a + 10 \cdot b + c\).

Приведем его к более простому виду:

\(17000 \cdot k = 100100 \cdot a + 10010 \cdot b + 1001 \cdot c - 17 \cdot k\).

Теперь, соединим уравнения 2 и 3 и найдем значения \(a\), \(b\) и \(c\):

\(100100 \cdot a + 10010 \cdot b + 1001 \cdot c - 17 \cdot k = 18 \cdot (5556 \cdot a + 617 \cdot b + 68 \cdot c)\).

\((44544 \cdot a + 3854 \cdot b + 932 \cdot c) = 17 \cdot k\).

Возможны следующие значения (\(a\), \(b\), \(c\)):

(1, 2, 3),
(2, 4, 6),
(3, 6, 9),
(4, 8, 2),
(5, 1, 5),
(6, 3, 8),
(7, 6, 1),
(8, 9, 4),
(9, 3, 7).

Все эти значения удовлетворяют условию задачи, что числа \(\overline{abc}\), умноженные на 17, дают шестизначные числа, делящиеся на 18. Однако, нам нужно найти наибольшее трехзначное число. Таким образом, наибольшим из возможных трехзначных чисел будет \(\overline{abc} = 978\).