Создайте диаграмму для функции: f(x)=x^2-8x+7. С использованием диаграммы, найдите: 1) диапазон значений функции

Хорошо, давайте начнем с создания диаграммы для функции \(f(x) = x^2 - 8x + 7\). Для этого мы можем использовать график функции на координатной плоскости.

1) Для того чтобы найти диапазон значений функции, нам необходимо определить, какие значения может принимать \(f(x)\). Для квадратичных функций, таких как данная, диапазон значений будет зависеть от того, является ли коэффициент при \(x^2\) положительным или отрицательным.

В данном случае, у нас \(x^2\)-терм имеет положительный коэффициент, а именно 1. Это означает, что график функции открывается вверх, и диапазон значений будет ограничен снизу. Чтобы найти минимальное значение функции, нам нужно найти вершину графика.

Формула для нахождения координат вершины квадратичной функции вида \(f(x) = ax^2 + bx + c\), где \(а ≠ 0\), имеет вид:
\[x_{\text{вершины}} = -\dfrac{b}{2a}, \quad y_{\text{вершины}} = f(x_{\text{вершины}})\]

В нашем случае, \(a = 1\), \(b = -8\) и \(c = 7\). Подставим эти значения в формулу:
\[x_{\text{вершины}} = -\dfrac{-8}{2 \cdot 1} = 4\]

Теперь найдем значение \(y_{\text{вершины}}\) подставив \(x = 4\) в исходную функцию:
\[y_{\text{вершины}} = f(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 7 = 16 - 32 + 7 = -9\]

Таким образом, вершина графика находится в точке \((4, -9)\), и это минимальное значение функции. Диапазон значений функции будет \(-9\) и все большие числа, так как функция стремится к положительной бесконечности.

2) Чтобы найти интервалы, на которых функция возрастает или убывает, нам нужно проанализировать знак производной функции \(f"(x)\). Если \(f"(x) > 0\), то функция возрастает, а если \(f"(x) < 0\), то функция убывает.

Найдем производную функции \(f(x)\):
\[f"(x) = 2x - 8\]

Теперь найдем ноль производной, чтобы определить точку перегиба:
\[2x - 8 = 0\]
\[2x = 8\]
\[x = 4\]

Мы видим, что производная \(f"(x)\) равна нулю при \(x = 4\). Это означает, что функция меняет направление своего возрастания на убывание или наоборот в точке \(x = 4\).

Разделим интервалы перед и после точки перегиба и проверим знаки производной:
- Для \(x < 4\), возьмем например \(x = 3\):
\[f"(3) = 2 \cdot 3 - 8 = -2 < 0\]
Производная отрицательна, следовательно, функция убывает на интервале \((-\infty, 4)\).

- Для \(x > 4\), возьмем например \(x = 5\):
\[f"(5) = 2 \cdot 5 - 8 = 2 > 0\]
Производная положительна, следовательно, функция возрастает на интервале \((4, \infty)\).

Таким образом, функция \(f(x) = x^2 - 8x + 7\) возрастает на интервале \((4, \infty)\) и убывает на интервале \((-\infty, 4)\).

3) Чтобы найти множество решений неравенства \(f(x) = 0\), нам нужно найти значения \(x\), при которых функция равна нулю. Находим решения, подставляя \(f(x) = 0\) и решив получившееся квадратное уравнение:
\[x^2 - 8x + 7 = 0\]

Мы можем решить это уравнение, используя квадратное уравнение или факторизацию. Однако, здесь я предложу использовать формулу дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7\]
\[D = 64 - 28\]
\[D = 36\]

Когда значение дискриминанта положительное (\(D > 0\)), у уравнения есть два различных решения. Применяя формулу корней для квадратного уравнения, имеем:
\[x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
\[x_{1,2} = \dfrac{-(-8) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1}\]
\[x_{1,2} = \dfrac{8 \pm 6}{2}\]
\[x_1 = \dfrac{8 + 6}{2} = 7\]
\[x_2 = \dfrac{8 - 6}{2} = 1\]

Таким образом, множество решений данного неравенства \(f(x) = 0\) равно \(\{x_1 = 7, x_2 = 1\}\).