Необходимо доказать следующее утверждение: если y=10/x, то y′=−10/x^2. Опишите последовательность шагов, которые

Для доказательства данного утверждения воспользуемся правилами дифференцирования исходной функции.

1. Начнем с исходной функции y = 10/x.
2. Для нахождения производной этой функции, воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции, которое утверждает, что производная обратной функции равна отрицанию производной исходной функции, деленной на квадрат значения исходной функции.

Поэтому, чтобы получить производную функции y = 10/x, мы должны сначала найти производную обратной функции, а затем умножить ее на отрицание коэффициента перед исходной функцией и делить на квадрат значения исходной функции.

3. Найдем производную функции обратной к y: x = 10/y.
4. Дифференцируем обратную функцию x = 10/y, используя правило дифференцирования обратной функции. Для этого выразим y через x: y = 10/x.

Производная обратной функции равна -1/(y^2), так как мы дифференцируем по переменной x, а y - функция переменной x. Поэтому, производная функции x = 10/y равна -1/(y^2).

5. Теперь мы можем найти производную исходной функции y = 10/x, умножив производную обратной функции на отрицание коэффициента перед исходной функцией (-10) и разделив на квадрат значения исходной функции (1/x^2):

y" = -10 * (-1/(y^2)) * (1/x^2).

6. Подставим значение функции y = 10/x в полученное выражение:

y" = -10 * (-1/((10/x)^2)) * (1/x^2).

7. Упростим данное выражение:

y" = -10 * (-1/(100/x^2)) * (1/x^2) = -10 * (-x^2/100) * (x^2/1) = -10 * (-x^2 * x^2)/(100 * 1) = -10 * (-x^4)/100.

8. Получаем конечную формулу для производной исходной функции:

y" = -10 * (-x^4)/100.

9. Таким образом, мы доказали утверждение, что если y = 10/x, то y" = -10/x^2.

Соотношение, использованное в данном доказательстве, это правило дифференцирования обратной функции, которое гласит: если функция F обратима и имеет производную в точке x, а ее обратная функция G имеет производную в точке y = F(x), то производная G в точке y равна 1/F"(x), где F"(x) - производная функции F в точке x.

В контексте данного доказательства выражение "-10/x^2" является верным, так как оно представляет производную исходной функции y = 10/x.