Составить уравнение касательной и нормали к кривой функции f(x)=тангекc(x) в точке с координатой x0=п/4x0=п/3

Конечно! Для начала, давайте найдем производную функции \(f(x) = \tan(x)\).

Производная функции тангенса может быть выражена следующим образом:

\[
\frac{{d}}{{dx}}(\tan(x)) = \sec^2(x)
\]

Затем мы найдем значение производной в заданной точке \(x_0 = \frac{\pi}{4}\) и \(x_0 = \frac{\pi}{3}\).

\[
f"(x) = \sec^2(x)
\]

\[
f"(\frac{\pi}{4}) = \sec^2(\frac{\pi}{4}) = 2^2 = 4
\]

\[
f"(\frac{\pi}{3}) = \sec^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{2}{\sqrt{3}})^2 = \frac{4}{3}
\]

Теперь, чтобы составить уравнение касательной, мы будем использовать следующую формулу:

\[
y - f(x_0) = f"(x_0)(x - x_0)
\]

Для точки \(\left(\frac{\pi}{4}, \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\) мы получим:

\[
y - \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 4 \left(x - \frac{\pi}{4}\right)
\]

Для точки \(\left(\frac{\pi}{3}, \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)\) мы получим:

\[
y - \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{4}{3} \left(x - \frac{\pi}{3}\right)
\]

Теперь давайте найдем уравнение нормали, которая будет перпендикулярна касательной. Для этого мы воспользуемся следующей формулой:

\[
y - f(x_0) = -\frac{1}{f"(x_0)}(x - x_0)
\]

Таким образом, уравнение нормали имеет вид:

Для точки \(\left(\frac{\pi}{4}, \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\):

\[
y - \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{4} \left(x - \frac{\pi}{4}\right)
\]

Для точки \(\left(\frac{\pi}{3}, \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)\):

\[
y - \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{3}{4} \left(x - \frac{\pi}{3}\right)
\]

Таким образом, мы получили уравнения касательной и нормали к кривой функции \(f(x) = \tan(x)\) в точках \(x_0 = \frac{\pi}{4}\) и \(x_0 = \frac{\pi}{3}\).