Согласно легенде, мудрец, изобретая шахматы, запросил у персидского шаха вознаграждение следующим образом: на первую

Задача, которую вы описали, основана на геометрической прогрессии. Для решения задачи, нам нужно знать формулу для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии.

Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:
$$S_n=\frac{a_1\cdot (1-r^n)}{1-r}$$

Где:
- $S_n$ - сумма первых $n$ членов прогрессии
- $a_1$ - первый член прогрессии
- $r$ - знаменатель прогрессии (зерна, в данном случае)

В нашем случае $a_1=1$ (зерно на первой клетке), а $r=2$ (каждое следующее зерно в два раза больше предыдущего).

1) Чтобы найти, сколько зерен будет находиться на последней клетке, нам нужно найти $a_{64}$.
Мы можем использовать формулу для $a_n$ геометрической прогрессии:
$$a_n=a_1\cdot r^{(n-1)}$$

Подставляем значения:
$$a_{64}=1\cdot 2^{(64-1)}$$

Вычисляем:
$$a_{64}=1\cdot 2^{63}=9,223,372,036,854,775,808$$ зерен.

Таким образом, на последней клетке будет 9,223,372,036,854,775,808 зерен.

2) Чтобы найти, на какой клетке будет лежать 258 зерен, нам нужно решить уравнение:
$$a_n=258$$

Подставляем значения:
$$258=1\cdot 2^{(n-1)}$$

Решаем уравнение:
$$2^{(n-1)}=258$$

Без использования сложных математических методов, мы можем пробовать разные значения для $n$, начиная с 1, чтобы получить приближенный ответ. Путем проб и ошибок мы найдем, что $n=8$ является ближайшим значением, при котором $a_n$ будет больше, чем 258.

Таким образом, на восьмой клетке будет лежать 258 зерен.

3) Чтобы найти, сколько зерен получит мудрец в общей сложности, если 15 г зерен равно 1 г пшеницы, нам нужно найти сумму первых 64 членов прогрессии.

Используя формулу для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:
$$S_n=\frac{a_1\cdot (1-r^n)}{1-r}$$

Подставляем значения:
$$S_{64}=\frac{1\cdot (1-2^{64})}{1-2}$$

Вычисляем:
$$S_{64}=\frac{1\cdot (-18446744073709551615)}{-1}=18446744073709551615$$ зерен.

Дальше, нам нужно выразить полученное количество зерен в граммах пшеницы, используя информацию, что 15 г зерен равно 1 г пшеницы.

$$1\text{г зерен}=\frac{1}{15}\text{г пшеницы}$$

Тогда, чтобы найти количество пшеницы, мы делим $S_{64}$ на 15:

$$\frac{18446744073709551615}{15}\approx 1229782938245302887$$ г пшеницы.

Таким образом, мудрец получит примерно 1229782938245302887 г пшеницы в общей сложности.