Согласно легенде, мудрец, изобретая шахматы, запросил у персидского шаха вознаграждение следующим образом: на первую

Задача, которую вы описали, основана на геометрической прогрессии. Для решения задачи, нам нужно знать формулу для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии.

Формула для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:
\[S_n = \frac{{a_1 \cdot (1 - r^n)}}{{1 - r}}\]

Где:
- \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии
- \(a_1\) - первый член прогрессии
- \(r\) - знаменатель прогрессии (зерна, в данном случае)

В нашем случае \(a_1 = 1\) (зерно на первой клетке), а \(r = 2\) (каждое следующее зерно в два раза больше предыдущего).

1) Чтобы найти, сколько зерен будет находиться на последней клетке, нам нужно найти \(a_{64}\).
Мы можем использовать формулу для \(a_n\) геометрической прогрессии:
\[a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\]

Подставляем значения:
\[a_{64} = 1 \cdot 2^{(64-1)}\]

Вычисляем:
\[a_{64} = 1 \cdot 2^{63} = 9,223,372,036,854,775,808\] зерен.

Таким образом, на последней клетке будет 9,223,372,036,854,775,808 зерен.

2) Чтобы найти, на какой клетке будет лежать 258 зерен, нам нужно решить уравнение:
\[a_n = 258\]

Подставляем значения:
\[258 = 1 \cdot 2^{(n-1)}\]

Решаем уравнение:
\[2^{(n-1)} = 258\]

Без использования сложных математических методов, мы можем пробовать разные значения для \(n\), начиная с 1, чтобы получить приближенный ответ. Путем проб и ошибок мы найдем, что \(n = 8\) является ближайшим значением, при котором \(a_n\) будет больше, чем 258.

Таким образом, на восьмой клетке будет лежать 258 зерен.

3) Чтобы найти, сколько зерен получит мудрец в общей сложности, если 15 г зерен равно 1 г пшеницы, нам нужно найти сумму первых 64 членов прогрессии.

Используя формулу для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:
\[S_n = \frac{{a_1 \cdot (1 - r^n)}}{{1 - r}}\]

Подставляем значения:
\[S_{64} = \frac{{1 \cdot (1 - 2^{64})}}{{1 - 2}}\]

Вычисляем:
\[S_{64} = \frac{{1 \cdot (-18446744073709551615)}}{{-1}} = 18446744073709551615\] зерен.

Дальше, нам нужно выразить полученное количество зерен в граммах пшеницы, используя информацию, что 15 г зерен равно 1 г пшеницы.

\[1 \, \text{г зерен} = \frac{1}{15} \, \text{г пшеницы}\]

Тогда, чтобы найти количество пшеницы, мы делим \(S_{64}\) на 15:

\[\frac{{18446744073709551615}}{{15}} \approx 1229782938245302887\] г пшеницы.

Таким образом, мудрец получит примерно 1229782938245302887 г пшеницы в общей сложности.