Сколько вершин содержит граф, где каждая вершина имеет степень 3, а количество ребер составляет от 16

Для решения данной задачи, давайте воспользуемся формулой Эйлера для планарных графов: \(V - E + F = 2\), где \(V\) - количество вершин, \(E\) - количество ребер, а \(F\) - количество граней.

У нас есть информация, что каждая вершина имеет степень 3 и количество ребер составляет от 16. Пусть \(V\) будет общим количеством вершин в графе, тогда мы можем записать следующее уравнение, учитывая степени вершин:
\[3V = 2E\]

Теперь подставим данное уравнение в формулу Эйлера:
\[V - E + F = 2\]

Заменим также \(E\) на \(\frac{3V}{2}\):
\[V - \frac{3V}{2} + F = 2\]

Упростим полученное уравнение и перенесем все члены с \(V\) на одну сторону:
\[\frac{V}{2} + F = 2\]

Теперь нам нужно использовать информацию о количестве граней. Заметим, что в графе, где каждая вершина имеет степень 3, количество граней будет равно \(\frac{2}{3}E\), так как каждая грань имеет 3 ребра и каждое ребро соединяет 2 вершины:
\[F = \frac{2}{3}E\]

Подставим это значение в полученное уравнение:
\[\frac{V}{2} + \frac{2}{3}E = 2\]

У нас есть еще одно условие, что количество ребер составляет от 16. Пусть \(E_{min} = 16\), тогда мы можем записать следующее уравнение:
\[\frac{V}{2} + \frac{2}{3} \cdot 16 = 2\]

Решив данное уравнение, найдем значение \(V\):
\[\frac{V}{2} + \frac{32}{3} = 2\]
\[\frac{V}{2} = 2 - \frac{32}{3}\]
\[\frac{V}{2} = \frac{6}{3} - \frac{32}{3}\]
\[\frac{V}{2} = \frac{-26}{3}\]
\[V = 2 \cdot \frac{-26}{3}\]
\[V = \frac{-52}{3}\]

Однако, количество вершин должно быть целым числом, так как мы решаем задачу про граф, поэтому ответом будет являться \(-\frac{52}{3}\) вершины.

В данной задаче не существует целочисленного решения, которое удовлетворяет всем условиям. Это говорит о том, что граф с каждой вершиной степени 3 и количеством ребер от 16 не существует.