Сколько вариантов существует, чтобы семеро друзей расположились на скамейке, при условии, что двое из них всегда сидят

Для решения данной задачи, мы можем рассмотреть два случая: когда пара друзей сидит на одном конце скамейки и когда пара друзей сидит в середине скамейки.

1) Когда пара друзей сидит на одном конце скамейки:
В данном случае мы можем считать эту пару за одно целое. Таким образом, у нас остается 6 объектов (5 друзей и 1 пара), которые нужно разместить на скамейке без особых ограничений. Мы можем это сделать $6!$ способами, где $n!$ обозначает факториал числа $n$ - произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

2) Когда пара друзей сидит в середине скамейки:
В данном случае пара друзей уже заняла два места, и остается 5 объектов (5 друзей) и 1 пустое место на скамейке. Пустое место может быть размещено слева или справа от пары друзей. Мы можем выбрать это место $2$ способами.
Затем оставшиеся 5 объектов (5 друзей) могут быть размещены на оставшихся 5 позициях таким образом, что они не находятся рядом друг с другом. Это можно сделать так: сначала разместить пустое место на паре доступных позиций, затем разместить первого друга на остальных четырех позициях, затем разместить второго друга на трех позициях, третьего друга на двух позициях и четвертого друга на оставшейся одной позиции. Итого, мы получаем $2\times 4\times 3\times 2\times 1=48$ способов размещения.

Таким образом, общее количество вариантов будет равно сумме количества вариантов в каждом случае:

$$6!+2\times 4\times 3\times 2\times 1=720+48=768.$$

Итак, существует 768 вариантов, чтобы семеро друзей расположились на скамейке, при условии, что двое из них всегда сидят рядом.