Сколько вариантов составления ожерелий из 6 бусинок разного цвета? Сколько способов выбрать трех человек для поощрения

Давайте рассмотрим каждую задачу по очереди:

1. Сколько вариантов составления ожерелий из 6 бусинок разного цвета?

Чтобы найти количество вариантов составления ожерелий, мы можем использовать принцип упорядоченных выборов. Так как бусинки имеют разные цвета, каждая бусинка будет считаться уникальной.

Для первой бусинки у нас есть 6 вариантов выбора. Для второй бусинки останется 5 вариантов, а для третьей - 4 варианта. Продолжая этот процесс, мы найдем количество вариантов, умножив все числа от 6 до 1:

\[6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720\]

Итак, есть 720 вариантов составления ожерелий из 6 бусинок разного цвета.

2. Сколько способов выбрать трех человек для поощрения из отдела, который состоит из 8 человек?

Чтобы найти количество способов выбрать трех человек, мы можем использовать комбинаторику и формулу сочетаний \(C(n, k)\). В данном случае, у нас есть 8 человек в отделе, и мы хотим выбрать 3 человека для поощрения.

Формула для сочетаний:
\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]

Подставим значения:
\[C(8, 3) = \frac{{8!}}{{3!(8-3)!}} = \frac{{8!}}{{3!5!}} = \frac{{8 \times 7 \times 6 \times 5!}}{{3 \times 2 \times 1 \times 5!}}\]
\[= \frac{{8 \times 7 \times 6}}{{3 \times 2 \times 1}} = \frac{{336}}{{6}} = 56\]

Итак, есть 56 способов выбрать трех человек для поощрения из отдела из 8 человек.

3. Из группы из 25 человек нужно выбрать старосту и 4 равноправных члена совета. Сколькими способами это можно сделать?

Чтобы найти количество способов выбрать старосту и 4 равноправных члена совета, мы можем использовать комбинаторику и формулу перемещений с повторениями \(P(n, k)\). В данном случае, у нас есть 25 человек в группе, и мы хотим выбрать 1 старосту и 4 равноправных членов совета.

Формула для перемещений с повторениями:
\[P(n, k) = n^k\]

Подставим значения:
\[P(25, 1) = 25^1 = 25\] - количество вариантов выбора старосты

\[P(25, 4) = 25^4 = 390625\] - количество вариантов выбора 4 членов совета

Всего способов выбрать старосту и 4 равноправных члена совета:
\[25 \times 390625 = 9765625\]

Итак, есть 9765625 способов выбрать старосту и 4 равноправных члена совета из группы из 25 человек.

4. Сколько вариантов разделения 4 разных подарков между 10 людьми?

Чтобы найти количество вариантов разделения 4 разных подарков между 10 людьми, мы можем использовать комбинаторику и формулу размещений \(A(n, k)\). В данном случае, у нас есть 10 человек, и мы хотим разделить 4 разных подарка между ними.

Формула для размещений:
\[A(n, k) = \frac{{n!}}{{(n-k)!}}\]

Подставим значения:
\[A(10, 4) = \frac{{10!}}{{(10-4)!}} = \frac{{10!}}{{6!}} = \frac{{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}}{{6!}}\]
\[= 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040\]

Итак, есть 5040 вариантов разделения 4 разных подарков между 10 людьми.

5. В колоде из 36 карт. Найдите вероятность события А (тянуть туз) и события В (тянуть даму).

Чтобы найти вероятность события А (тянуть туз) и события В (тянуть даму) из колоды из 36 карт, нам необходимо знать количество тузов и дам в колоде.

Предположим, что в колоде из 36 карт есть 4 туза и 4 дамы.

Вероятность события А (тянуть туз) равна отношению количества тузов к общему количеству карт:
\[P(A) = \frac{{\text{{количество тузов}}}}{{\text{{общее количество карт}}}} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}\]

Вероятность события В (тянуть даму) также равна отношению количества дам к общему количеству карт:
\[P(B) = \frac{{\text{{количество дам}}}}{{\text{{общее количество карт}}}} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}\]

Таким образом, вероятность события А (тянуть туз) и события В (тянуть даму) равна \(\frac{1}{9}\) для обоих событий.