Сколько учеников имеет пятерки по всем трем предметам, если в классе нет ни одного ученика, не имеющего пятерки хотя

Для решения данной задачи нам необходимо использовать понятие пересечения множеств.

Дано, что в классе 35 учеников. Мы хотим найти количество учеников, которые имеют пятерки по всем трём предметам и не имеют оценок ниже пятерки по какому-либо предмету.

Представим, что каждый предмет - это множество учеников, получивших пятерки по этому предмету. Обозначим эти множества как A, B и C. Нам известно, что все ученики класса находятся в объединении этих трёх множеств:

\[A \cup B \cup C\]

Также по условию никто не имеет оценок ниже пятерки по какому-либо предмету, поэтому ученики, не имеющие пятерки, находятся в дополнении к объединению этих трёх множеств:

\[(A \cup B \cup C)^c\]

Нам нужно найти количество учеников, имеющих пятерки по всем предметам, то есть находящихся в пересечении этих множеств:

\[A \cap B \cap C\]

Используя формулу включения-исключения, мы можем определить количество учеников, имеющих пятерки по всем трем предметам:

\begin{align*}
|A \cap B \cap C| &= |A \cup B \cup C| - |(A \cup B \cup C)^c| \\
&= |A \cup B \cup C| - |\overline{A \cup B \cup C}| \\
&= |A \cup B \cup C| - |U|,
\end{align*}

где |A| обозначает мощность (количество элементов) множества A, а U - универсальное множество, в данном случае множество всех учеников класса.

Так как нам известно, что в классе 35 учеников, мы можем подставить это значение:

\begin{align*}
|A \cap B \cap C| &= |A \cup B \cup C| - |U| \\
&= 35 - |U|.
\end{align*}

Осталось найти мощность объединения множеств A, B и C.

Для этого нам необходимо знать количество учеников, имеющих пятерки по отдельным предметам. Допустим, что в классе у нас есть x учеников с пятерками по предмету A, y учеников с пятерками по предмету B и z учеников с пятерками по предмету C. Тогда мы можем записать:

\begin{align*}
|A \cup B \cup C| &= |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \\
&= x + y + z - 0 - 0 - 0 + |A \cap B \cap C|.
\end{align*}

Так как у нас нет ни одного ученика, не имеющего пятерки хотя бы по одному из этих предметов, то все пересечения множеств A, B и C являются пустыми множествами:

\[|A \cap B| = |A \cap C| = |B \cap C| = 0.\]

Поэтому формула упрощается до:

\begin{align*}
|A \cup B \cup C| &= x + y + z + |A \cap B \cap C|.
\end{align*}

Теперь мы можем выразить мощность пересечения множеств A, B и C, используя известное значение:

\begin{align*}
|A \cap B \cap C| &= |A \cup B \cup C| - x - y - z \\
&= 35 - x - y - z.
\end{align*}

Таким образом, мы нашли мощность пересечения множеств A, B и C, то есть количество учеников, имеющих пятерки по всем трём предметам. Значит, ответ на задачу - это \(35 - x - y - z\).