Сколько участников международной олимпиады не владеют никаким из трех указанных языков, если из 120 участников 28 знают

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться методом включений и исключений. Этот метод позволяет нам определить количество участников, которые не владеют никаким из трех указанных языков.

В данной задаче у нас есть информация о количестве участников, которые знают один, два или все три языка. Давайте обозначим количество участников, которые знают только английский как \(A\), только немецкий как \(B\), только французский как \(C\), а также количество участников, которые знают два и три языка.

Используя информацию из условия, мы можем записать следующие уравнения:

\(A = 28\)
\(B = 30\)
\(C = 42\)
\(A \cap B = 8\)
\(A \cap C = 10\)
\(B \cap C = 5\)
\(A \cap B \cap C = 3\)

Мы хотим найти количество участников, которые не владеют никаким из трех языков, то есть участники, которые не входят ни в одно из множеств \(A\), \(B\) и \(C\). Обозначим это количество как \(X\).

Теперь применим метод включений и исключений. Согласно этому методу, мы можем посчитать количество участников, которые владеют хотя бы одним из языков и вычесть это значение из общего количества участников.

Поэтому воспользуемся формулой включений и исключений:

\[X = (\text{общее количество участников}) - (A + B + C) + (A \cap B) + (A \cap C) + (B \cap C) - (A \cap B \cap C)\]

Подставим известные значения:

\[X = 120 - (28 + 30 + 42) + 8 + 10 + 5 - 3\]

Выполняем вычисления:

\[X = 120 - 100 + 23\]

\[X = 43\]

Таким образом, есть 43 участника международной олимпиады, которые не владеют никаким из трех указанных языков.