Сколько точек пересечения есть у прямой y=5x-1 с параболой y=2x^2-x? Найдите координаты вершины параболы y=-2x^2+6x-1

Давайте начнем с первой задачи. Мы хотим найти количество точек пересечения между прямой \(y=5x-1\) и параболой \(y=2x^2-x\). Чтобы найти точки пересечения, мы должны решить систему уравнений, в которой оба уравнения равны друг другу.

Уравнение прямой: \(y=5x-1\)
Уравнение параболы: \(y=2x^2-x\)

Чтобы найти точки пересечения, мы можем приравнять оба уравнения:

\[5x-1 = 2x^2-x\]

Получаем квадратное уравнение:

\[2x^2-6x+1 = 0\]

Теперь нам нужно решить это уравнение. Это можно сделать с помощью формулы дискриминанта или разложения на множители. Давайте воспользуемся формулой дискриминанта.

Для квадратного уравнения вида \(ax^2+bx+c=0\) дискриминант \(D\) можно вычислить по формуле:

\[D = b^2-4ac\]

В нашем случае, \(a=2\), \(b=-6\), \(c=1\). Подставляя значения, получаем:

\[D = (-6)^2-4(2)(1) = 36-8 = 28\]

Так как дискриминант положительный (\(D>0\)), это означает, что у нас будет два различных корня, и, следовательно, две точки пересечения.

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{28}}{2(2)}\]

\[x = \frac{6 \pm 2\sqrt{7}}{4}\]

\[x = \frac{3 \pm \sqrt{7}}{2}\]

Таким образом, у нас есть две точки пересечения с координатами \(\left(\frac{3 + \sqrt{7}}{2}, 5\left(\frac{3 + \sqrt{7}}{2}\right) - 1\right)\) и \(\left(\frac{3 - \sqrt{7}}{2}, 5\left(\frac{3 - \sqrt{7}}{2}\right) - 1\right)\).

Теперь перейдем ко второй задаче. Мы хотим найти координаты вершины параболы \(y=-2x^2+6x-1\).

У нас есть формула для нахождения координат вершины параболы вида \(ax^2+bx+c\):

\[x_{\text{вершины}} = -\frac{b}{2a}\]
\[y_{\text{вершины}} = f(x_{\text{вершины}})\]

В нашем случае, \(a=-2\), \(b=6\), \(c=-1\). Подставляя значения, получаем:

\[x_{\text{вершины}} = -\frac{6}{2(-2)} = -\frac{6}{-4} = \frac{3}{2}\]

Чтобы найти значение \(y_{\text{вершины}}\), мы подставим \(x_{\text{вершины}}\) в уравнение параболы:

\[y_{\text{вершины}} = -2\left(\frac{3}{2}\right)^2+6\left(\frac{3}{2}\right)-1\]

\[y_{\text{вершины}} = -2\left(\frac{9}{4}\right)+9-1\]

\[y_{\text{вершины}} = -\frac{9}{2}+9-1\]

\[y_{\text{вершины}} = -\frac{9}{2}+8\frac{1}{2}\]

\[y_{\text{вершины}} = -\frac{9}{2}+\frac{17}{2}\]

\[y_{\text{вершины}} = \frac{8}{2} = 4\]

Таким образом, координаты вершины параболы равны \(\left(\frac{3}{2}, 4\right)\).

Перейдем к третьей задаче. Мы хотим найти наибольшее значение функции \(y=-3x^2-12x-8\). Для этого нам нужно найти вершину параболы, так как мы знаем, что парабола, у которой \(a<0\), будет иметь максимум.

Мы уже нашли координаты вершины параболы в предыдущей задаче, и они равны \(\left(\frac{3}{2}, 4\right)\). Таким образом, наибольшее значение функции равно \(y = 4\).

Надеюсь, эти шаги помогут вам разобраться в решении данных задач. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.