Сколько точек пересечения есть у прямой y=5x-1 с параболой y=2x^2-x? Найдите координаты вершины параболы y=-2x^2+6x-1

Давайте начнем с первой задачи. Мы хотим найти количество точек пересечения между прямой $y=5x-1$ и параболой $y=2x^2-x$. Чтобы найти точки пересечения, мы должны решить систему уравнений, в которой оба уравнения равны друг другу.

Уравнение прямой: $y=5x-1$
Уравнение параболы: $y=2x^2-x$

Чтобы найти точки пересечения, мы можем приравнять оба уравнения:

$$5x-1=2x^2-x$$

Получаем квадратное уравнение:

$$2x^2-6x+1=0$$

Теперь нам нужно решить это уравнение. Это можно сделать с помощью формулы дискриминанта или разложения на множители. Давайте воспользуемся формулой дискриминанта.

Для квадратного уравнения вида $a{x}^2+bx+c=0$ дискриминант $D$ можно вычислить по формуле:

$$D=b^2-4ac$$

В нашем случае, $a=2$, $b=-6$, $c=1$. Подставляя значения, получаем:

$$D=(-6{)}^2-4(2)(1)=36-8=28$$

Так как дискриминант положительный ($D>0$), это означает, что у нас будет два различных корня, и, следовательно, две точки пересечения.

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

$$x=\frac{-(-6)\pm \sqrt{28}}{2(2)}$$

$$x=\frac{6\pm 2\sqrt{7}}{4}$$

$$x=\frac{3\pm \sqrt{7}}{2}$$

Таким образом, у нас есть две точки пересечения с координатами $(\frac{3+\sqrt{7}}{2},5\left(\frac{3+\sqrt{7}}{2}\right)-1)$ и $(\frac{3-\sqrt{7}}{2},5\left(\frac{3-\sqrt{7}}{2}\right)-1)$.

Теперь перейдем ко второй задаче. Мы хотим найти координаты вершины параболы $y=-2x^2+6x-1$.

У нас есть формула для нахождения координат вершины параболы вида $a{x}^2+bx+c$:

$$x_{\text{вершины}}=-\frac{b}{2a}$$
$$y_{\text{вершины}}=f(x_{\text{вершины}})$$

В нашем случае, $a=-2$, $b=6$, $c=-1$. Подставляя значения, получаем:

$$x_{\text{вершины}}=-\frac{6}{2(-2)}=-\frac{6}{-4}=\frac{3}{2}$$

Чтобы найти значение $y_{\text{вершины}}$, мы подставим $x_{\text{вершины}}$ в уравнение параболы:

$$y_{\text{вершины}}=-2{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+6\left(\frac{3}{2}\right)-1$$

$$y_{\text{вершины}}=-2\left(\frac{9}{4}\right)+9-1$$

$$y_{\text{вершины}}=-\frac{9}{2}+9-1$$

$$y_{\text{вершины}}=-\frac{9}{2}+8\frac{1}{2}$$

$$y_{\text{вершины}}=-\frac{9}{2}+\frac{17}{2}$$

$$y_{\text{вершины}}=\frac{8}{2}=4$$

Таким образом, координаты вершины параболы равны $(\frac{3}{2},4)$.

Перейдем к третьей задаче. Мы хотим найти наибольшее значение функции $y=-3x^2-12x-8$. Для этого нам нужно найти вершину параболы, так как мы знаем, что парабола, у которой $a<0$, будет иметь максимум.

Мы уже нашли координаты вершины параболы в предыдущей задаче, и они равны $(\frac{3}{2},4)$. Таким образом, наибольшее значение функции равно $y=4$.

Надеюсь, эти шаги помогут вам разобраться в решении данных задач. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.