Сколько существует способов раскрасить все узлы прямоугольной сетки размером 2 × 4 (длины сторон сетки) в 2 цвета таким

Давайте рассмотрим данную задачу по шагам и найдем решение.

Шаг 1: Понимание задачи
Перед тем, как мы начнем решение, давайте понимать условие задачи. У нас есть прямоугольная сетка размером 2 × 4 (2 строки и 4 столбца), и нам нужно найти количество способов раскрасить все узлы сетки в 2 цвета таким образом, чтобы она оставалась той же самой после поворота на 180 градусов.

Шаг 2: Рассмотрение возможных цветовых комбинаций
У нас есть два возможных цвета, которые мы можем использовать для раскрашивания узлов сетки. Пусть эти цвета будут обозначены как "А" и "Б". Теперь, когда мы понимаем, что у нас есть 2 возможных цвета, мы можем перейти к следующему шагу.

Шаг 3: Анализ ситуации после поворота на 180 градусов
Мы знаем, что сетка должна оставаться той же самой после поворота на 180 градусов. Рассмотрим, как каждый узел влияет на сетку после поворота:
- Центральный узел остается на своем месте.
- Крайние узлы остаются на своих местах.
- Два внутренних узла, которые находятся друг напротив друга, должны быть одного цвета.

Шаг 4: Рассмотрение возможных комбинаций цветов
Исходя из анализа ситуации после поворота на 180 градусов, мы можем определить следующие возможные комбинации цветов:
- Центральный узел: Может быть любого цвета.
- Крайние узлы: Также могут быть любого цвета.
- Внутренние узлы: Эти узлы должны быть одного цвета.

Шаг 5: Проанализируем возможные комбинации цветов подробнее
У нас есть два разных края сетки, а также два внутренних узла, которые находятся друг напротив друга. Поэтому мы можем проанализировать следующие возможные комбинации цветов для каждого края сетки:
1. Комбинация 1: Цвет "А" на одном краю и цвет "А" на другом краю.
2. Комбинация 2: Цвет "А" на одном краю и цвет "Б" на другом краю.
3. Комбинация 3: Цвет "Б" на одном краю и цвет "А" на другом краю.
4. Комбинация 4: Цвет "Б" на одном краю и цвет "Б" на другом краю.

Шаг 6: Анализ комбинаций цветов
Анализируя каждую комбинацию цветов, мы можем увидеть следующее:
- Комбинация 1 и Комбинация 4 будут давать одинаковую сетку после поворота на 180 градусов.
- Комбинация 2 и Комбинация 3 также будут давать одинаковую сетку после поворота на 180 градусов.

Шаг 7: Найдем количество способов раскрасить каждую комбинацию цветов
У нас есть две возможные комбинации цветов - Комбинация 1 и Комбинация 4, а также Комбинация 2 и Комбинация 3. Найдем количество способов раскрасить каждую комбинацию цветов.

Для Комбинации 1 и Комбинации 4:
- Цвет "А" на одном краю может быть выбран двумя способами (так как у нас есть два края).
- Цвет "А" на другом краю должен быть выбран таким образом, чтобы сетка оставалась той же самой после поворота на 180 градусов. Поскольку у нас два возможных цвета, для этого у нас есть 2 способа выбора.

Общее количество способов для Комбинации 1 и Комбинации 4: \(2 \times 2 = 4\) способа.

Для Комбинации 2 и Комбинации 3:
- Цвет "А" на одном краю может быть выбран двумя способами.
- Цвет "Б" на другом краю должен быть выбран таким образом, чтобы сетка оставалась той же самой после поворота на 180 градусов. У нас есть только один возможный цвет для этого, так как мы уже использовали цвет "А" на первом краю.

Общее количество способов для Комбинации 2 и Комбинации 3: \(2 \times 1 = 2\) способа.

Шаг 8: Суммируем количество способов для каждой комбинации цветов
Теперь нам нужно просуммировать количество способов для каждой комбинации цветов:
- Комбинация 1 и Комбинация 4: 4 способа.
- Комбинация 2 и Комбинация 3: 2 способа.

Общее количество способов: \(4 + 2 = 6\) способов.

Итак, ответ на данную задачу - существует 6 способов раскрасить все узлы прямоугольной сетки размером 2 × 4 в 2 цвета таким образом, чтобы при повороте сетки на 180 градусов она оставалась той же самой.