Сколько существует пятизначных восьмеричных чисел, в которых все цифры разные и никакие две четные или нечетные цифры

Чтобы решить данную задачу, нам потребуется использовать комбинаторику и принципы подсчета.
Давайте разобьем ее на несколько шагов:

Шаг 1: Определение условий
В задаче говорится, что нам нужно найти количество пятизначных восьмеричных чисел, в которых все цифры разные и никакие две четные или нечетные цифры не находятся рядом.

Шаг 2: Рассмотрение различных случаев
У нас есть несколько условий, которые нужно учитывать: все цифры должны быть разные, а также четные и нечетные цифры не должны находиться рядом друг с другом. Давайте посмотрим на эти условия подробнее.

а) Все цифры должны быть разные:
Так как мы ищем пятизначные числа, то первая цифра не может быть равна нулю. Значит, выбор для первой цифры есть из 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Далее нам нужно выбрать оставшиеся четыре цифры из оставшихся цифр (восьмеричные числа от 0 до 7), исключив выбранную ранее первую цифру. Это можно сделать с помощью сочетания из оставшихся 7 цифр по 4: \(\binom{7}{4}\).

б) Никакие две четные или нечетные цифры не должны находиться рядом:
Поскольку числа требуются восьмеричные, у нас всего есть два вида цифр: четные (0, 2, 4, 6) и нечетные (1, 3, 5, 7). Поскольку никакие две четные или нечетные цифры не могут находиться рядом и каждая четная цифра должна предшествовать нечетной, нам нужно учесть все возможные комбинации.

- Рассмотрим случай, когда первая цифра - четная (0, 2, 4, 6). Тогда у нас есть 4 выбора для первой цифры. Если первая цифра - четная, то следующая цифра - нечетная. И так далее до последней цифры. Таким образом, у нас есть один возможный вариант для каждой нечетной цифры. В итоге, для данного случая, у нас есть 4 * 1 * 1 * 1 = 4 возможных варианта.

- Аналогично рассмотрим случай, когда первая цифра - нечетная (1, 3, 5, 7). В этом случае у нас также 4 выбора для первой цифры. Вторая цифра должна быть четной, и так далее до последней цифры. Аналогично предыдущему случаю, у нас есть один возможный вариант для каждой четной цифры. В итоге, для данного случая, у нас есть 4 * 1 * 1 * 1 = 4 возможных варианта.

Шаг 3: Итоговый расчет
Теперь, чтобы найти общее количество пятизначных восьмеричных чисел, удовлетворяющих условиям задачи, мы должны умножить количество вариантов для каждого из случаев, рассмотренных в шаге 2.

Варианты при различных цифрах: \(\binom{7}{4}\) = 35
Варианты при условии, что первая цифра четная: 4
Варианты при условии, что первая цифра нечетная: 4

Общее количество восьмеричных чисел, удовлетворяющих заданным условиям, равно:

35 * (4 + 4) = 35 * 8 = 280

Итак, существует 280 различных пятизначных восьмеричных чисел, в которых все цифры разные и никакие две четные или нечетные цифры не находятся рядом.