Сколько существует положительных целых чисел, меньших 101, которые нельзя представить в виде разности квадратов двух

Для решения данной задачи, давайте посмотрим, какие числа можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел.

Числа, которые можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел, называются целыми квадратами. Например, число 5 можно представить в виде разности квадратов: 5 = 3^2 - 2^2.

Теперь давайте рассмотрим, какие целые числа меньше 101 можно представить в виде разности квадратов.

Наименьшее число, которое можно представить в виде разности квадратов, это 0 = 1^2 - 1^2. Мы также можем представить число 1 в виде разности квадратов: 1 = 1^2 - 0^2.

Теперь рассмотрим числа, кратные 4. Кратные 4 числа можно представить в виде разности квадратов следующим образом: (2n)^2 - (n^2) = 4n^2 - n^2 = 3n^2, где n - натуральное число. Например, число 4 можно представить в виде разности квадратов: 4 = (2^2) - (0^2). Число 8 можно представить в виде разности квадратов: 8 = (3^2) - (1^2). И так далее.

Теперь рассмотрим числа, которые не являются кратными 4, но кратны 2. Кратные 2 и не кратные 4 числа можно представить в виде разности квадратов следующим образом: (2n + 1)^2 - (n^2) = 4n^2 + 4n + 1 - n^2 = 3n^2 + 4n + 1. Например, число 5 можно представить в виде разности квадратов: 5 = (2^2) - (1^2). Число 9 можно представить в виде разности квадратов: 9 = (4^2) - (3^2). И так далее.

Теперь проверим, какие числа меньше 101 можно представить в виде разности квадратов с помощью наших формул.

Подставим числа от 2 до 10 в формулы для чисел, кратных 4: 3*2^2, 3*3^2, 3*4^2, 3*5^2, 3*6^2, 3*7^2, 3*8^2, 3*9^2, 3*10^2. Мы видим, что все эти числа меньше 101.

Теперь подставим числа от 2 до 10 в формулы для чисел, которые не являются кратными 4, но кратны 2: 3*2^2 + 4*2 + 1, 3*3^2 + 4*3 + 1, 3*4^2 + 4*4 + 1, 3*5^2 + 4*5 + 1, 3*6^2 + 4*6 + 1, 3*7^2 + 4*7 + 1, 3*8^2 + 4*8 + 1, 3*9^2 + 4*9 + 1, 3*10^2 + 4*10 + 1. Мы видим, что все эти числа меньше 101.

Таким образом, все числа меньше 101 можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел.

Ответ: Всего существует 100 положительных целых чисел, меньших 101, которые нельзя представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел.