Сколько существует натуральных чисел N (где 100008 < N < 777778), для которых сумма первых двух цифр и сумма последних

Для решения данной задачи нам потребуется разложить натуральные числа из интервала (100008, 777778) на отдельные цифры и проверить условие задачи.

Пусть число N записано в восьмеричной системе счисления. При этом, сумма первых двух цифр числа N будет равна \(a_1 + a_2\), где \(a_1\) и \(a_2\) - первое и второе число, составляющие запись числа N.

Аналогично, сумма последних двух цифр числа N будет равна \(b_1 + b_2\), где \(b_1\) и \(b_2\) - предпоследнее и последнее число, составляющие запись числа N.

Теперь проведем анализ для всех чисел N из интервала (100008, 777778):

1. Число N не может иметь ведущие нули, так как иначе оно не будет являться натуральным числом.

2. Так как число N лежит в интервале от 100008 до 777778, его восьмеричная запись будет иметь шесть цифр. Однако, для нас важны только первые две и последние две цифры.

3. Рассмотрим возможные значения для сумм первых двух цифр и сумм последних двух цифр восьмеричной записи числа N:

- Сумма цифр может быть равна 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8.

- Применяя это к первым двум цифрам и последним двум цифрам (сумма первых двух цифр равна сумме последних двух цифр), мы получаем следующие возможные значения:

- 0 + 0 = 0
- 1 + 1 = 2
- 2 + 2 = 4
- 3 + 3 = 6
- 4 + 4 = 10 (в восьмеричной системе)
- 5 + 5 = 12 (в восьмеричной системе)
- 6 + 6 = 14 (в восьмеричной системе)
- 7 + 7 = 16 (в восьмеричной системе)
- 8 + 8 = 20 (в восьмеричной системе)

4. Теперь, зная возможные значения для сумм первых двух и последних двух цифр восьмеричной записи, мы можем приступить к подсчету количества чисел N, удовлетворяющих условию задачи.

- Для сумм 0, 2, 4, 6 и 16 у нас есть по девять возможных комбинаций цифр: (00, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88).
- Для сумм 10 (в восьмеричной системе), 12, 14 и 20 у нас есть по восемь возможных комбинаций цифр: (16, 25, 34, 43, 52, 61, 70, 77).

5. Суммируя все возможные комбинации цифр, получаем общее количество чисел N, удовлетворяющих условию задачи:

\[9 + 9 + 9 + 9 + 8 + 8 + 8 + 8 = 77\]

Таким образом, существует 77 натуральных чисел N (где 100008 < N < 777778), для которых сумма первых двух цифр и сумма последних двух цифр их восьмеричной записи одинаковы.