Сколько станций нужно построить в метро, по указанию короля, где каждые две линии встречаются в одной общей станции

Чтобы решить эту задачу, нам нужно разобраться в топологии сети метро с указанными условиями.

Для начала, давайте разберемся с количеством станций, которые встречаются на каждой общей станции, где две линии пересекаются. В данной задаче сказано, что каждые две линии встречаются в одной общей станции. Количество комбинаций из 101 линии по 2, можно выразить формулой сочетаний С(101, 2):

\[
C(101, 2) = \frac{{101!}}{{2!(101-2)!}} = \frac{{101!}}{{2!99!}}
\]

\[
C(101, 2) = \frac{{101 \times 100}}{{2 \times 1}} = 5050
\]

Таким образом, имеется 5050 общих станций, где две линии пересекаются.

Далее, нам нужно определить количество станций, где три линии пересекаются. В условии сказано, что 3 линии пересекаются в одной станции. Чтобы вычислить количество станций, где это происходит, нам нужно посчитать количество комбинаций из 101 линии по 3, что можно выразить формулой С(101, 3):

\[
C(101, 3) = \frac{{101!}}{{3!(101-3)!}} = \frac{{101!}}{{3!98!}}
\]

\[
C(101, 3) = \frac{{101 \times 100 \times 99}}{{3 \times 2 \times 1}} = 166,167,000
\]

Таким образом, имеется 166,167,000 станций, где три линии пересекаются.

Наконец, остается определить количество станций, которые являются точками пересечения для двух линий. У нас имеется 101 линия метро, и каждые две линии встречаются в одной общей станции, и таких общих станций у нас 5050.

Теперь, чтобы определить количество станций, которые являются точками пересечения для двух линий, мы вычитаем из общего количества станций в метро количество общих станций, где две линии пересекаются, и количество станций, где три линии пересекаются:

\[
101 - 5050 - 166,167,000 = -166,167,949
\]

Полученное число -166,167,949 означает, что нам нужно еще построить 166,167,949 станций, которые будут точками пересечения для двух линий.

Итак, чтобы удовлетворить условиям задачи, нам необходимо построить 166,167,949 станций, которые являются точками пересечения для двух линий.