Сколько способов выбрать по два билета либо из 10 билетов денежной лотереи, либо из 12 билетов спортлото?

Давайте решим эту задачу пошагово и подробно.

У нас есть два случая: выбор из 10 билетов денежной лотереи и выбор из 12 билетов спортлото.

1. Выбор из 10 билетов денежной лотереи:
Мы хотим выбрать по два билета из десяти. Для этого мы можем использовать комбинаторную формулу сочетаний без повторений \(C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\), где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем.

В данном случае, \(n = 10\) (всего 10 билетов) и \(k = 2\) (мы выбираем по два билета). Подставляем значения в формулу:
\[C(10, 2) = \frac{{10!}}{{2! \cdot (10-2)!}} = \frac{{10!}}{{2! \cdot 8!}}\]

Вычислять факториалы чисел может быть довольно сложно, поэтому воспользуемся формулой для упрощения факториала \(n!\):
\[n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1\]

Применяем эту формулу:
\[10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\]
\[2! = 2 \cdot 1\]
\[8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\]

Теперь мы можем подставить значения в нашу исходную формулу и вычислить количество способов выбрать по два билета из денежной лотереи:
\[C(10, 2) = \frac{{10!}}{{2! \cdot 8!}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{2 \cdot 1 \cdot (8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}}\]

Выполняем вычисления:
\[C(10, 2) = \frac{{10 \cdot 9}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{90}}{{2}} = 45\]

Таким образом, из 10 билетов денежной лотереи можно выбрать 45 способов по два билета.

2. Выбор из 12 билетов спортлото:
Аналогичным образом, применяем комбинаторную формулу для выбора по два билета из 12:
\[C(12, 2) = \frac{{12!}}{{2! \cdot (12-2)!}}\]
\[12! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\]
\[2! = 2 \cdot 1\]
\[10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\]

Подставляем значения и вычисляем:
\[C(12, 2) = \frac{{12!}}{{2! \cdot 10!}} = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{2 \cdot 1 \cdot (10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}}\]
\[C(12, 2) = \frac{{12 \cdot 11}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{132}}{{2}} = 66\]

Таким образом, из 12 билетов спортлото можно выбрать 66 способов по два билета.

Итак, ответ на задачу состоит в суммировании результатов для двух случаев:
\(45 + 66 = 111\)

Таким образом, всего существует 111 способов выбрать по два билета либо из 10 билетов денежной лотереи, либо из 12 билетов спортлото.