Сколько способов выбрать 9 шаров из ящика, где содержится 30 шаров трех разных цветов: 11 красных, 10 зеленых

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику и метод перестановок с повторениями.

Перед тем, как приступить к решению, давайте подробно разберем условие задачи.

Имеется ящик с 30 шарами, которые разделены на три цвета: 11 красных, 10 зеленых и 9 желтых. Нам нужно выбрать 9 шаров из этого ящика таким образом, чтобы каждого цвета было ровно по 3 шара.

Чтобы решить задачу, мы можем разделить ее на три части: выбор красных шаров, выбор зеленых шаров и выбор желтых шаров. Затем мы умножим количество вариантов выбора каждого цвета, чтобы получить общее количество вариантов выбора шаров.

Для начала решим первую часть задачи: выбор красных шаров.

Имеем 11 красных шаров и нужно выбрать 3 из них. Для этого мы можем использовать формулу сочетаний, которая выглядит следующим образом:

\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\),

где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые нужно выбрать.

В данной задаче \(n = 11\) и \(k = 3\), поэтому:

\(\binom{11}{3} = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3!8!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 165\).

Значит, у нас есть 165 вариантов выбрать 3 красных шара.

Теперь перейдем ко второй части задачи: выбор зеленых шаров.

Имеем 10 зеленых шаров и нужно выбрать 3 из них. Опять же, используем формулу сочетаний:

\(\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120\).

Значит, у нас есть 120 вариантов выбрать 3 зеленых шара.

И наконец, переходим к третьей части задачи: выбор желтых шаров.

Имеем 9 желтых шаров и нужно выбрать 3 из них:

\(\binom{9}{3} = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84\).

Значит, у нас есть 84 варианта выбрать 3 желтых шара.

Теперь у нас есть количество вариантов для каждой из трех частей задачи:

- Выбор красных шаров: 165 вариантов.
- Выбор зеленых шаров: 120 вариантов.
- Выбор желтых шаров: 84 варианта.

Иногда мы можем умножать количество вариантов для каждой части, чтобы получить полное количество вариантов. В данной задаче мы именно это и делаем:

\(165 \cdot 120 \cdot 84 = 1,798,400\).

Значит, есть 1,798,400 способов выбрать 9 шаров из ящика, учитывая условие задачи.

Таким образом, ответ на задачу составляет 1,798,400 способов. Ответ является результатом перемножения количества вариантов выбора каждого цвета в соответствии с условием задачи.