Сколько способов выбрать 9 шаров из ящика, где содержится 30 шаров трех разных цветов: 11 красных, 10 зеленых

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику и метод перестановок с повторениями.

Перед тем, как приступить к решению, давайте подробно разберем условие задачи.

Имеется ящик с 30 шарами, которые разделены на три цвета: 11 красных, 10 зеленых и 9 желтых. Нам нужно выбрать 9 шаров из этого ящика таким образом, чтобы каждого цвета было ровно по 3 шара.

Чтобы решить задачу, мы можем разделить ее на три части: выбор красных шаров, выбор зеленых шаров и выбор желтых шаров. Затем мы умножим количество вариантов выбора каждого цвета, чтобы получить общее количество вариантов выбора шаров.

Для начала решим первую часть задачи: выбор красных шаров.

Имеем 11 красных шаров и нужно выбрать 3 из них. Для этого мы можем использовать формулу сочетаний, которая выглядит следующим образом:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$,

где $n$ - общее количество элементов, а $k$ - количество элементов, которые нужно выбрать.

В данной задаче $n=11$ и $k=3$, поэтому:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{3})=\frac{11!}{3!(11-3)!}=\frac{11!}{3!8!}=\frac{11\cdot 10\cdot 9}{3\cdot 2\cdot 1}=165$.

Значит, у нас есть 165 вариантов выбрать 3 красных шара.

Теперь перейдем ко второй части задачи: выбор зеленых шаров.

Имеем 10 зеленых шаров и нужно выбрать 3 из них. Опять же, используем формулу сочетаний:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3})=\frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10!}{3!7!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}=120$.

Значит, у нас есть 120 вариантов выбрать 3 зеленых шара.

И наконец, переходим к третьей части задачи: выбор желтых шаров.

Имеем 9 желтых шаров и нужно выбрать 3 из них:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3})=\frac{9!}{3!(9-3)!}=\frac{9!}{3!6!}=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1}=84$.

Значит, у нас есть 84 варианта выбрать 3 желтых шара.

Теперь у нас есть количество вариантов для каждой из трех частей задачи:

- Выбор красных шаров: 165 вариантов.
- Выбор зеленых шаров: 120 вариантов.
- Выбор желтых шаров: 84 варианта.

Иногда мы можем умножать количество вариантов для каждой части, чтобы получить полное количество вариантов. В данной задаче мы именно это и делаем:

$165\cdot 120\cdot 84=1,798,400$.

Значит, есть 1,798,400 способов выбрать 9 шаров из ящика, учитывая условие задачи.

Таким образом, ответ на задачу составляет 1,798,400 способов. Ответ является результатом перемножения количества вариантов выбора каждого цвета в соответствии с условием задачи.