Сколько способов существует для Васи составить 7-буквенные коды из букв к, а, б, и, н, е, т , при условии, что каждая

Для решения этой задачи воспользуемся принципом умножения и условием, ограничивающим количество возможных комбинаций.

Сначала определим количество вариантов расстановки букв "к, а, б, и, н, е, т" в 7-буквенном коде без каких-либо ограничений. Для этого воспользуемся формулой для перестановок с повторениями:

\[ P_{n_1, n_2, ..., n_k} = \frac{{n!}}{{n_1! \cdot n_2! \cdot ... \cdot n_k!}} \]

где \( n \) - общее количество объектов, \( n_i \) - количество объектов, одинаковых по своим свойствам (в нашем случае это количество каждой буквы).

Так как у нас 7 различных букв, расположенных в коде, то \( n = 7 \). А также каждая буква встречается ровно один раз, то \( n_i = 1 \) для каждой буквы. Подставляем значения в формулу:

\[ P_{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1} = \frac{{7!}}{{1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!}} \]

\[ P_{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1} = 7! \]

\[ P_{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \]

\[ P_{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1} = 5040 \]

Теперь рассмотрим ограничение на начальную букву кода, которая не может быть "б". Для этого необходимо определить количество вариантов, в которых буква "б" стоит на первой позиции.

Чтобы найти это количество, зафиксируем букву "б" на первой позиции и расставим оставшиеся 6 букв. Для этого воспользуемся той же формулой для перестановок, только уже с 6 объектами:

\[ P_{1, 1, 1, 1, 1, 1} = \frac{{6!}}{{1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!}} \]

\[ P_{1, 1, 1, 1, 1, 1} = 6! \]

\[ P_{1, 1, 1, 1, 1, 1} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \]

\[ P_{1, 1, 1, 1, 1, 1} = 720 \]

Теперь рассмотрим ограничение на сочетания "еа". Буквы "е" и "а" не могут стоять рядом. Чтобы определить количество вариантов, в которых буквы "е" и "а" стоят рядом, объединим их в один объект и получим следующие комбинации: "еа" и "ае".

Таким образом, нам надо рассмотреть два случая: когда "еа" стоит на первой и второй позиции, и когда "еа" стоит на второй и третьей позиции кода.

В первом случае, зафиксируем "еа" на первой и второй позиции и расставим оставшиеся 5 букв. Для этого воспользуемся формулой для перестановок с 5 объектами:

\[ P_{1, 1, 1, 1, 1} = \frac{{5!}}{{1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!}} \]

\[ P_{1, 1, 1, 1, 1} = 5! \]

\[ P_{1, 1, 1, 1, 1} = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \]

\[ P_{1, 1, 1, 1, 1} = 120 \]

Во втором случае, зафиксируем "еа" на второй и третьей позиции и расставим оставшиеся 5 букв. Для этого снова воспользуемся формулой для перестановок с 5 объектами:

\[ P_{1, 1, 1, 1, 1} = \frac{{5!}}{{1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!}} \]

\[ P_{1, 1, 1, 1, 1} = 5! \]

\[ P_{1, 1, 1, 1, 1} = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \]

\[ P_{1, 1, 1, 1, 1} = 120 \]

Теперь посчитаем общее количество комбинаций, удовлетворяющих всем условиям задачи. Вычтем из общего числа комбинаций количество комбинаций с "еа" на первой и второй позициях, а также количество комбинаций с "еа" на второй и третьей позициях, и количество комбинаций с "б" на первой позиции:

\[ Количество\ комбинаций = Общее\ количество\ комбинаций - Количество\ комбинаций\ с\ "еа"\ на\ первой\ и\ второй\ позициях - Количество\ комбинаций\ с\ "еа"\ на\ второй\ и\ третьей\ позициях - Количество\ комбинаций\ с\ "б"\ на\ первой\ позиции \]

\[ Количество\ комбинаций = 5040 - 120 - 120 - 720 \]

\[ Количество\ комбинаций = 4080 \]

Итак, у Васи существует 4080 способов составить 7-буквенные коды из букв "к, а, б, и, н, е, т", при условии, что каждая буква должна быть использована ровно один раз, код не может начинаться с "б" и не может содержать сочетания "еа".