Сколько составляют минимальные затраты на производство 1000 единиц продукции с учетом равенства производственной

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать производственную функцию и данные о ценах на капитал и труд.

Производственная функция Q = 100KL описывает зависимость выпуска продукции (Q) от количества капитала (K) и количества труда (L).

Мы также имеем информацию о цене капитала (120 долларов) и цене труда (30 долларов в день).

Для определения минимальных затрат на производство 1000 единиц продукции, нам нужно найти такие значения K и L, при которых выпуск (Q) составляет 1000.

Подставим значения производства (Q) и производственной функции вместе с ценами на капитал (К) и труд (L) в уравнение:

\[Q = 100KL\]

\[1000 = 100KL\]

Делим обе стороны на 100, чтобы избавиться от коэффициента:

\[10 = KL\]

Теперь, чтобы определить минимальные затраты на производство 1000 единиц продукции, нам нужно найти такие значения K и L, при которых произведение K и L равно 10.

Учитывая цены на капитал (120 долларов) и труд (30 долларов в день), мы можем вычислить затраты на каждый фактор производства.

Для этого делим общую стоимость каждого фактора на соответствующую цену:

Затраты на капитал (C_K) = K * Цена капитала

Затраты на труд (C_L) = L * Цена труда

Таким образом, затраты на производство:

Общие затраты (C) = C_K + C_L

Подставим найденное значение \(KL = 10\) в формулу и рассчитаем затраты:

\[C = (K \cdot Цена\ капитала) + (L \cdot Цена\ труда)\]

\[C = (K \cdot 120) + (L \cdot 30)\]

Так как нам дано только значение Q (1000), мы не можем найти прямые значения K и L. Однако, мы можем представить затраты на производство в виде функции одной переменной.

Для этого можем использовать соотношение между K и L из производственной функции: \(L = \frac{10}{K}\)

Подставляем это значение в формулу для C и выражаем все через K:

\[C = (K \cdot 120) + \left(\frac{10}{K} \cdot 30\right) = 120K + \frac{300}{K}\]

Теперь у нас есть функция затрат C в зависимости от K. Чтобы найти минимальные затраты, найдем минимум этой функции, то есть значение K, при котором производная C по K равна нулю.

\[C" = 120 - \frac{300}{K^2} = 0\]

Умножим обе части уравнения на \(K^2\) и перенесем все в одну сторону:

\[120K^2 - 300 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение:

\[K^2 = \frac{300}{120}\]

\[K^2 = 2.5\]

\[K = \sqrt{2.5} \approx 1.58\]

Таким образом, минимальные затраты на производство 1000 единиц продукции составляют около 158 долларов.

Обратите внимание, что решение является приближенным и округленным до двух десятичных знаков. Мы также предполагаем, что выпуск продукции (Q) и цены на факторы производства (капитал и труд) остаются постоянными.