Сколько составляют минимальные затраты на производство 1000 единиц продукции с учетом равенства производственной функции Q=100 KL, при цене капитала 120 долларов и цене труда 30 долларов в день?
Ягненка
Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать производственную функцию и данные о ценах на капитал и труд.
Производственная функция Q = 100KL описывает зависимость выпуска продукции (Q) от количества капитала (K) и количества труда (L).
Мы также имеем информацию о цене капитала (120 долларов) и цене труда (30 долларов в день).
Для определения минимальных затрат на производство 1000 единиц продукции, нам нужно найти такие значения K и L, при которых выпуск (Q) составляет 1000.
Подставим значения производства (Q) и производственной функции вместе с ценами на капитал (К) и труд (L) в уравнение:
\[Q = 100KL\]
\[1000 = 100KL\]
Делим обе стороны на 100, чтобы избавиться от коэффициента:
\[10 = KL\]
Теперь, чтобы определить минимальные затраты на производство 1000 единиц продукции, нам нужно найти такие значения K и L, при которых произведение K и L равно 10.
Учитывая цены на капитал (120 долларов) и труд (30 долларов в день), мы можем вычислить затраты на каждый фактор производства.
Для этого делим общую стоимость каждого фактора на соответствующую цену:
Затраты на капитал (C_K) = K * Цена капитала
Затраты на труд (C_L) = L * Цена труда
Таким образом, затраты на производство:
Общие затраты (C) = C_K + C_L
Подставим найденное значение \(KL = 10\) в формулу и рассчитаем затраты:
\[C = (K \cdot Цена\ капитала) + (L \cdot Цена\ труда)\]
\[C = (K \cdot 120) + (L \cdot 30)\]
Так как нам дано только значение Q (1000), мы не можем найти прямые значения K и L. Однако, мы можем представить затраты на производство в виде функции одной переменной.
Для этого можем использовать соотношение между K и L из производственной функции: \(L = \frac{10}{K}\)
Подставляем это значение в формулу для C и выражаем все через K:
\[C = (K \cdot 120) + \left(\frac{10}{K} \cdot 30\right) = 120K + \frac{300}{K}\]
Теперь у нас есть функция затрат C в зависимости от K. Чтобы найти минимальные затраты, найдем минимум этой функции, то есть значение K, при котором производная C по K равна нулю.
\[C" = 120 - \frac{300}{K^2} = 0\]
Умножим обе части уравнения на \(K^2\) и перенесем все в одну сторону:
\[120K^2 - 300 = 0\]
Теперь решим это квадратное уравнение:
\[K^2 = \frac{300}{120}\]
\[K^2 = 2.5\]
\[K = \sqrt{2.5} \approx 1.58\]
Таким образом, минимальные затраты на производство 1000 единиц продукции составляют около 158 долларов.
Обратите внимание, что решение является приближенным и округленным до двух десятичных знаков. Мы также предполагаем, что выпуск продукции (Q) и цены на факторы производства (капитал и труд) остаются постоянными.
Производственная функция Q = 100KL описывает зависимость выпуска продукции (Q) от количества капитала (K) и количества труда (L).
Мы также имеем информацию о цене капитала (120 долларов) и цене труда (30 долларов в день).
Для определения минимальных затрат на производство 1000 единиц продукции, нам нужно найти такие значения K и L, при которых выпуск (Q) составляет 1000.
Подставим значения производства (Q) и производственной функции вместе с ценами на капитал (К) и труд (L) в уравнение:
\[Q = 100KL\]
\[1000 = 100KL\]
Делим обе стороны на 100, чтобы избавиться от коэффициента:
\[10 = KL\]
Теперь, чтобы определить минимальные затраты на производство 1000 единиц продукции, нам нужно найти такие значения K и L, при которых произведение K и L равно 10.
Учитывая цены на капитал (120 долларов) и труд (30 долларов в день), мы можем вычислить затраты на каждый фактор производства.
Для этого делим общую стоимость каждого фактора на соответствующую цену:
Затраты на капитал (C_K) = K * Цена капитала
Затраты на труд (C_L) = L * Цена труда
Таким образом, затраты на производство:
Общие затраты (C) = C_K + C_L
Подставим найденное значение \(KL = 10\) в формулу и рассчитаем затраты:
\[C = (K \cdot Цена\ капитала) + (L \cdot Цена\ труда)\]
\[C = (K \cdot 120) + (L \cdot 30)\]
Так как нам дано только значение Q (1000), мы не можем найти прямые значения K и L. Однако, мы можем представить затраты на производство в виде функции одной переменной.
Для этого можем использовать соотношение между K и L из производственной функции: \(L = \frac{10}{K}\)
Подставляем это значение в формулу для C и выражаем все через K:
\[C = (K \cdot 120) + \left(\frac{10}{K} \cdot 30\right) = 120K + \frac{300}{K}\]
Теперь у нас есть функция затрат C в зависимости от K. Чтобы найти минимальные затраты, найдем минимум этой функции, то есть значение K, при котором производная C по K равна нулю.
\[C" = 120 - \frac{300}{K^2} = 0\]
Умножим обе части уравнения на \(K^2\) и перенесем все в одну сторону:
\[120K^2 - 300 = 0\]
Теперь решим это квадратное уравнение:
\[K^2 = \frac{300}{120}\]
\[K^2 = 2.5\]
\[K = \sqrt{2.5} \approx 1.58\]
Таким образом, минимальные затраты на производство 1000 единиц продукции составляют около 158 долларов.
Обратите внимание, что решение является приближенным и округленным до двух десятичных знаков. Мы также предполагаем, что выпуск продукции (Q) и цены на факторы производства (капитал и труд) остаются постоянными.
Знаешь ответ?