Сколько составляет длина гипотенузы прямоугольного треугольника, у которого один из углов равен 60°, а меньший катет

Для решения этой задачи нам понадобятся основные тригонометрические отношения. В данном случае, нам известно, что один из углов треугольника равен 60°, а меньший катет равен \(a\). Длина гипотенузы треугольника будем обозначать через \(c\).

Итак, согласно основным тригонометрическим отношениям, в прямоугольном треугольнике верно следующее:

\[\sin(\Theta) = \frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\]
\[\cos(\Theta) = \frac{{\text{{прилежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\]
\[\tan(\Theta) = \frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{прилежащий катет}}}}\]

Так как у нас известен угол 60° и меньший катет \(a\), мы можем использовать соотношение между синусом и углом:

\(\sin(60°) = \frac{{a}}{{c}}\)

Заметим, что значение синуса 60° равно \(\frac{{\sqrt{3}}}{{2}}\). Подставим это значение в уравнение и решим его относительно гипотенузы \(c\):

\(\frac{{\sqrt{3}}}{{2}} = \frac{{a}}{{c}}\)

Для избавления от дроби, умножим обе части уравнения на \(2c\):

\(2c \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{2}} = a\)

Сократим 2 и \(\frac{{\sqrt{3}}}{{2}}\):

\(c \cdot \sqrt{3} = a\)

И теперь разделим обе части уравнения на \(\sqrt{3}\):

\(c = \frac{{a}}{{\sqrt{3}}}\)

Таким образом, мы получили выражение для длины гипотенузы \(c\) в зависимости от длины меньшего катета \(a\):

\[c = \frac{{a}}{{\sqrt{3}}}\]

Оформим окончательный ответ: длина гипотенузы прямоугольного треугольника, у которого один из углов равен 60°, а меньший катет равен \(a\), составляет \(\frac{{a}}{{\sqrt{3}}}\).