Сколько слов, включая исходное слово, может Аня составить, переставляя буквы в слове ОДЕКОЛОН, но избегая слов, где соседние буквы одинаковые?
Александрович
Для решения данной задачи сначала посчитаем, сколько всего возможных перестановок можно составить из букв слова "ОДЕКОЛОН". Затем исключим из этого количества все слова, в которых соседние буквы одинаковые.
Первым шагом найдем общее количество перестановок. Для этого воспользуемся формулой для вычисления числа перестановок с повторениями. Так как в слове "ОДЕКОЛОН" есть две одинаковые буквы "О" и две одинаковые буквы "О", формула будет выглядеть следующим образом:
\[
\frac{{9!}}{{2! \cdot 2!}}
\]
\[
= \frac{{362880}}{{2 \cdot 2}}
\]
\[
= 90720
\]
Таким образом, всего существует 90720 возможных перестановок букв в слове "ОДЕКОЛОН".
Теперь наступает второй шаг - исключение слов с одинаковыми соседними буквами. Рассмотрим два случая:
1. Слово начинается с буквы "О":
- После буквы "О" может следовать любая из оставшихся букв "Д", "Е", "К", "Л", "Н". Значит, на эту позицию может быть выбрано 5 букв. После этого остается 7 позиций для оставшихся букв, которые можно переставить между собой. Это можно сделать $(7-1)!$ способами.
- Итак, для каждой такой комбинации на первой позиции можно выбрать 5 букв, а для оставшихся позиций остается $(7-1)!$ способов. Получаем $5 \cdot (7-1)!$ слов.
2. Слово не начинается с буквы "О":
- В этом случае на первой позиции может быть выбрана одна из оставшихся букв "Д", "Е", "К", "Л", "Н". Значит, на эту позицию может быть выбрано 5 букв. Остается 8 позиций для оставшихся букв, которые можно переставить между собой. Это можно сделать $(8-1)!$ способами.
- Итак, для каждой такой комбинации на первой позиции можно выбрать 5 букв, а для оставшихся позиций остается $(8-1)!$ способов. Получаем $5 \cdot (8-1)!$ слов.
Теперь сложим количество слов из первого и второго случая:
$5 \cdot (7-1)! + 5 \cdot (8-1)!$
$= 5 \cdot 6! + 5 \cdot 7!$
$= 30 \cdot 6 + 30 \cdot 7$
$= 180 + 210$
$= 390$
Таким образом, Аня может составить 390 слов, включая исходное слово "ОДЕКОЛОН", переставляя буквы в слове, но избегая слов, где соседние буквы одинаковые.
Первым шагом найдем общее количество перестановок. Для этого воспользуемся формулой для вычисления числа перестановок с повторениями. Так как в слове "ОДЕКОЛОН" есть две одинаковые буквы "О" и две одинаковые буквы "О", формула будет выглядеть следующим образом:
\[
\frac{{9!}}{{2! \cdot 2!}}
\]
\[
= \frac{{362880}}{{2 \cdot 2}}
\]
\[
= 90720
\]
Таким образом, всего существует 90720 возможных перестановок букв в слове "ОДЕКОЛОН".
Теперь наступает второй шаг - исключение слов с одинаковыми соседними буквами. Рассмотрим два случая:
1. Слово начинается с буквы "О":
- После буквы "О" может следовать любая из оставшихся букв "Д", "Е", "К", "Л", "Н". Значит, на эту позицию может быть выбрано 5 букв. После этого остается 7 позиций для оставшихся букв, которые можно переставить между собой. Это можно сделать $(7-1)!$ способами.
- Итак, для каждой такой комбинации на первой позиции можно выбрать 5 букв, а для оставшихся позиций остается $(7-1)!$ способов. Получаем $5 \cdot (7-1)!$ слов.
2. Слово не начинается с буквы "О":
- В этом случае на первой позиции может быть выбрана одна из оставшихся букв "Д", "Е", "К", "Л", "Н". Значит, на эту позицию может быть выбрано 5 букв. Остается 8 позиций для оставшихся букв, которые можно переставить между собой. Это можно сделать $(8-1)!$ способами.
- Итак, для каждой такой комбинации на первой позиции можно выбрать 5 букв, а для оставшихся позиций остается $(8-1)!$ способов. Получаем $5 \cdot (8-1)!$ слов.
Теперь сложим количество слов из первого и второго случая:
$5 \cdot (7-1)! + 5 \cdot (8-1)!$
$= 5 \cdot 6! + 5 \cdot 7!$
$= 30 \cdot 6 + 30 \cdot 7$
$= 180 + 210$
$= 390$
Таким образом, Аня может составить 390 слов, включая исходное слово "ОДЕКОЛОН", переставляя буквы в слове, но избегая слов, где соседние буквы одинаковые.
Знаешь ответ?