Сколько слов, включая исходное слово, может Аня составить, переставляя буквы в слове ОДЕКОЛОН, но избегая слов

Для решения данной задачи сначала посчитаем, сколько всего возможных перестановок можно составить из букв слова "ОДЕКОЛОН". Затем исключим из этого количества все слова, в которых соседние буквы одинаковые.

Первым шагом найдем общее количество перестановок. Для этого воспользуемся формулой для вычисления числа перестановок с повторениями. Так как в слове "ОДЕКОЛОН" есть две одинаковые буквы "О" и две одинаковые буквы "О", формула будет выглядеть следующим образом:

\[
\frac{{9!}}{{2! \cdot 2!}}
\]

\[
= \frac{{362880}}{{2 \cdot 2}}
\]

\[
= 90720
\]

Таким образом, всего существует 90720 возможных перестановок букв в слове "ОДЕКОЛОН".

Теперь наступает второй шаг - исключение слов с одинаковыми соседними буквами. Рассмотрим два случая:

1. Слово начинается с буквы "О":
- После буквы "О" может следовать любая из оставшихся букв "Д", "Е", "К", "Л", "Н". Значит, на эту позицию может быть выбрано 5 букв. После этого остается 7 позиций для оставшихся букв, которые можно переставить между собой. Это можно сделать $(7-1)!$ способами.
- Итак, для каждой такой комбинации на первой позиции можно выбрать 5 букв, а для оставшихся позиций остается $(7-1)!$ способов. Получаем $5 \cdot (7-1)!$ слов.

2. Слово не начинается с буквы "О":
- В этом случае на первой позиции может быть выбрана одна из оставшихся букв "Д", "Е", "К", "Л", "Н". Значит, на эту позицию может быть выбрано 5 букв. Остается 8 позиций для оставшихся букв, которые можно переставить между собой. Это можно сделать $(8-1)!$ способами.
- Итак, для каждой такой комбинации на первой позиции можно выбрать 5 букв, а для оставшихся позиций остается $(8-1)!$ способов. Получаем $5 \cdot (8-1)!$ слов.

Теперь сложим количество слов из первого и второго случая:

$5 \cdot (7-1)! + 5 \cdot (8-1)!$

$= 5 \cdot 6! + 5 \cdot 7!$

$= 30 \cdot 6 + 30 \cdot 7$

$= 180 + 210$

$= 390$

Таким образом, Аня может составить 390 слов, включая исходное слово "ОДЕКОЛОН", переставляя буквы в слове, но избегая слов, где соседние буквы одинаковые.