Сколько слов можно составить в шифровке, где используется только три символа, и каждый символ может повторяться

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать комбинаторику и подход к перестановкам сочетаний. Давайте разберемся с каждым шагом по порядку:

1. Сначала вспомним, что такое перестановка. Перестановка из \(n\) элементов — это упорядоченный набор из \(n\) элементов, в котором каждый элемент может быть выбран только один раз. В данной задаче у нас есть 3 символа, поэтому всего возможно \(3!\) (3 факториал, равный 3 * 2 * 1) перестановок этих символов.

2. Теперь давайте поймем, что такое сочетание. Сочетание из \(n\) элементов по \(k\) — это неупорядоченный набор из \(k\) элементов, в котором каждый элемент может быть выбран только один раз. В данной задаче мы хотим составить слова, в которых каждый символ может повторяться не более двух раз. Для этого мы можем рассмотреть сочетания следующего вида: 2 символа первого типа, 1 символ второго типа (третий символ), и 2 символа первого типа, 1 символ третьего типа (второй символ). В общем случае, число таких сочетаний можно рассчитать по формуле:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]

где \(n\) - общее число элементов, а \(k\) - число элементов, которые мы выбираем.

3. Применяя формулу для сочетаний, мы можем вычислить число слов, учитывая данные условия:

Сочетания для первого типа (2 символа первого типа, 1 символ второго типа):
\[C(2, 1) = \frac{{2!}}{{1!(2-1)!}} = \frac{{2}}{{1}} = 2\]

Сочетания для второго типа (2 символа первого типа, 1 символ третьего типа):
\[C(2, 1) = \frac{{2!}}{{1!(2-1)!}} = \frac{{2}}{{1}} = 2\]

Так как у нас два набора сочетаний, мы можем умножить результаты, чтобы получить общее число слов:

Общее число слов = \(2 \times 2 = 4\)

Итак, мы можем составить 4 разных слова, используя только три символа, где каждый символ может повторяться не более двух раз.