Сколько слов из 5 букв можно составить Васе, используя только буквы М, У, Х, А, при условии, что буква У может быть

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику. В данном случае, чтобы составить слово из 5 букв, мы должны выбрать 5 букв из общего числа возможных букв (М, У, Х, А). Мы должны также учесть, что буква У может быть использована не более трех раз.

Давайте разобъем задачу на несколько частей:

1. Посчитаем количество слов, в которых буква У не используется вообще. В этом случае, нам нужно выбрать 5 букв из оставшихся трех (М, Х, А). Это можно сделать $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{5})$ способами (так как мы выбираем 5 букв из 3). Итак, количество слов без буквы У равно $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{5})=3$.

2. Теперь посчитаем количество слов, в которых буква У используется только один раз. В этом случае, нам нужно выбрать 4 буквы из оставшихся (М, Х, А) и одну букву У. Это можно сделать $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4})$ способами (выбираем 4 буквы из 3) и $(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1})$ способом (выбираем 1 букву У из 1). Итак, количество слов с одной буквой У равно $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1})=3\cdot 1=3$.

3. Теперь посчитаем количество слов, в которых буква У используется ровно два раза. В этом случае, нам нужно выбрать 3 буквы из оставшихся (М, Х, А) и две буквы У. Это можно сделать $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3})$ способами (выбираем 3 буквы из 3) и $(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2})$ способами (выбираем 2 буквы У из 2). Итак, количество слов с двумя буквами У равно $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2})=1\cdot 1=1$.

4. И, наконец, посчитаем количество слов, в которых буква У используется ровно три раза. В этом случае, нам нужно выбрать 2 буквы из оставшихся (М, Х, А) и три буквы У. Это можно сделать $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})$ способами (выбираем 2 буквы из 3) и $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3})$ способами (выбираем 3 буквы У из 3). Итак, количество слов с тремя буквами У равно $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3})=3\cdot 1=3$.

Теперь сложим все полученные результаты, чтобы найти общее количество слов, которые можно составить Васе:
$3+3+1+3=10$.

Таким образом, Вася может составить 10 слов из 5 букв, используя только буквы М, У, Х, А, при условии, что буква У может быть использована не более трех раз.