Сколько слов из 5 букв можно составить Васе, используя только буквы М, У, Х, А, при условии, что буква У может быть

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику. В данном случае, чтобы составить слово из 5 букв, мы должны выбрать 5 букв из общего числа возможных букв (М, У, Х, А). Мы должны также учесть, что буква У может быть использована не более трех раз.

Давайте разобъем задачу на несколько частей:

1. Посчитаем количество слов, в которых буква У не используется вообще. В этом случае, нам нужно выбрать 5 букв из оставшихся трех (М, Х, А). Это можно сделать \(\binom{3}{5}\) способами (так как мы выбираем 5 букв из 3). Итак, количество слов без буквы У равно \(\binom{3}{5} = 3\).

2. Теперь посчитаем количество слов, в которых буква У используется только один раз. В этом случае, нам нужно выбрать 4 буквы из оставшихся (М, Х, А) и одну букву У. Это можно сделать \(\binom{3}{4}\) способами (выбираем 4 буквы из 3) и \(\binom{1}{1}\) способом (выбираем 1 букву У из 1). Итак, количество слов с одной буквой У равно \(\binom{3}{4} \cdot \binom{1}{1} = 3 \cdot 1 = 3\).

3. Теперь посчитаем количество слов, в которых буква У используется ровно два раза. В этом случае, нам нужно выбрать 3 буквы из оставшихся (М, Х, А) и две буквы У. Это можно сделать \(\binom{3}{3}\) способами (выбираем 3 буквы из 3) и \(\binom{2}{2}\) способами (выбираем 2 буквы У из 2). Итак, количество слов с двумя буквами У равно \(\binom{3}{3} \cdot \binom{2}{2} = 1 \cdot 1 = 1\).

4. И, наконец, посчитаем количество слов, в которых буква У используется ровно три раза. В этом случае, нам нужно выбрать 2 буквы из оставшихся (М, Х, А) и три буквы У. Это можно сделать \(\binom{3}{2}\) способами (выбираем 2 буквы из 3) и \(\binom{3}{3}\) способами (выбираем 3 буквы У из 3). Итак, количество слов с тремя буквами У равно \(\binom{3}{2} \cdot \binom{3}{3} = 3 \cdot 1 = 3\).

Теперь сложим все полученные результаты, чтобы найти общее количество слов, которые можно составить Васе:
\(3 + 3 + 1 + 3 = 10\).

Таким образом, Вася может составить 10 слов из 5 букв, используя только буквы М, У, Х, А, при условии, что буква У может быть использована не более трех раз.