Сколько школьников могло участвовать в товарищеском турнире по шахматам, если каждый из них сыграл с каждым другим

Давайте решим данную задачу пошагово:

1) Предположим, что на турнире участвовало \(x\) школьников.

2) Так как каждый из них сыграл с каждым другим не более одного раза, мы можем применить комбинаторный подход. Вернемся к принципу рукопожатия, который говорит, что в группе из \(n\) человек всего возможных рукопожатий будет \(\frac{{n(n-1)}}{2}\).

3) Каждая партия шахмат — одно рукопожатие. Таким образом, всего на турнире состоялось \(\frac{{x(x-1)}}{2}\) партий, так как каждый школьник играл с каждым другим школьником.

4) Учитывая, что было сыграно 42 партии, у нас есть уравнение:

\[\frac{{x(x-1)}}{2} = 42\]

5) Решим это уравнение. Умножим оба выражения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

\[x(x-1) = 84\]

6) Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения и приведем его к квадратному виду:

\[x^2 - x - 84 = 0\]

7) Факторизуем это квадратное уравнение таким образом:

\[x^2 - 12x + 7x - 84 = 0\]

\[x(x - 12) + 7(x - 12) = 0\]

\[(x + 7)(x - 12) = 0\]

8) Теперь найдем значения \(x\), удовлетворяющие этому уравнению. У нас есть два варианта:

a) \(x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7\)

b) \(x - 12 = 0 \Rightarrow x = 12\)

9) Так как нам интересуют только положительные значения школьников, мы отбрасываем отрицательное значение \(x = -7\).

10) Итак, количество школьников, которые могли участвовать в турнире, равно 12.

Таким образом, 12 школьников могло участвовать в товарищеском турнире по шахматам.